图形的放大与缩小

为什么放大后形状不变

这是本节最重要的直觉。

拿出两个大小不同的正方形、或两个大小不同的等边三角形，让学生量角——会发现角度完全一样。再量边，会发现边长按同一个倍数变化。

结论：放大缩小只改大小，不改形状。

可以顺势讲一个生活中的例子：把照片放大成海报，人还是那个人，五官比例没有变；如果只把宽度拉大、高度不变，人就”变胖”了——那不是按比例放大，而是变形。

学生理解这一点后，做”判断哪个图形是按比例放大的”这类题就不难了：看角度是否相同、各边是否同倍变化。

面积按平方变化

与比例尺那部分一致：长度按 $n$ 倍变化，面积按 $n^2$ 倍变化。

一个 $3\times 2$ 的长方形：

规律很清楚：周长与边长同倍变化，面积按平方变化。

这是小升初的高频考点，也是学生最容易想当然的地方（“放大 2 倍，面积就扩大 2 倍”）。

典例精析

例 1 一个长方形长 $4$、宽 $3$，按 $2:1$ 放大后，长、宽、周长、面积各是多少？

长 $8$、宽 $6$，周长 $(8+6)\times 2=28$（原周长 14，变 2 倍），面积 $8\times 6=48$（原面积 12，变 4 倍）。

例 2 一个三角形的三个内角分别是 $50°$、$60°$、$70°$，按 $3:1$ 放大后内角各是多少？

仍是 $50°$、$60°$、$70°$——角度不随放大而改变。

例 3 一个正方形按 $1:3$ 缩小后，面积是原来的几分之几？

边长变原来的 $\frac{1}{3}$，面积变原来的 $\frac{1}{9}$。

例 4 判断：一个长方形按 $2:1$ 放大后，面积扩大 $2$ 倍。这句话对吗？

不对。面积应扩大 $2^2=4$ 倍。

课堂上的真实错法

错法一：认为角度会变。 用量角器实测不同大小的同形状图形来纠正。

错法二：面积按同倍算。 用上面的表格对比，让学生自己算出”面积变 4 倍”这个反直觉的结论。

错法三：只改一条边。 画一个只拉长不拉宽的”变形”图形，问学生：“这还是原来的形状吗？“——不是，因为角度变了。

错法四：$2:1$ 与 $1:2$ 混淆。 用口诀”后项 1 放大、前项 1 缩小”。

给家长的讲法

用手机照片最好：把一张照片放大到全屏，问孩子”里面的人变形了吗？“——没有。再让他只拉宽不拉高，人会变胖——这就是”没按比例”。

之后拿方格纸画一个简单图形（比如一个 $2\times 3$ 的矩形），让孩子按 $2:1$ 在另一张方格纸上画出来，再数一数格子数：原来 6 格，放大后 24 格。他亲手数出来的”4 倍”，比讲十遍公式都管用。

最后记住两句话就够：角度不变、形状不变；面积按平方变。