空间向量与立体几何

定义

空间向量：在三维空间中，既有大小又有方向的量。建立空间直角坐标系 $O-xyz$ 后，向量 $\vec{a}$ 可用坐标表示为 $\vec{a}=(x,y,z)$。

关键概念：

• 模：$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$；
• 单位向量：模为 $1$ 的向量；
• 零向量：$\vec{0}=(0,0,0)$；
• 共线向量：方向相同或相反的非零向量；
• 共面向量：平行于同一平面的向量。

推导

空间向量线性运算（$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$、$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$）：

运算	坐标公式
加法	$\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$
减法	$\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$
数乘	$\lambda \vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1)$
模	$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$
数量积	$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$
夹角余弦	$\cos \theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$
平行充要	$\exists \lambda$，$\vec{a}=\lambda \vec{b}$（即 $x_1:x_2=y_1:y_2=z_1:z_2$）
垂直充要	$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$

空间向量基本定理：若三个向量 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$ 不共面，则对空间任一向量 $\vec{p}$，存在唯一一组实数 $(x,y,z)$ 使 $\vec{p}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}+z\overrightarrow{e_3}$。

平面法向量求法：设平面内两不共线向量 $\vec{u}=(a_1,b_1,c_1)$、$\vec{v}=(a_2,b_2,c_2)$，法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$ 满足 $\vec{n}\cdot \vec{u}=0$、$\vec{n}\cdot \vec{v}=0$，可取 $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$（叉积，高中直接给结果）。

立体几何应用：

几何量	向量公式
异面直线夹角 $\theta$	$\cos \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$
线面角 $\theta$	$\sin \theta =\frac{|\vec{d}\cdot \vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}$
二面角 $\theta$	$\cos \theta =\pm \frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}$
点 $P$ 到平面距离 $d$	$d=\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$（$A$ 在平面内）

典例精析

例 1：正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 棱长 $2$，建立坐标系 $A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$D(0,2,0)$、$A_1(0,0,2)$，求 $A_{1}C$ 与 $B{D}_1$ 所成角的余弦值。

$A_{1}C=(2,2,-2)$、$B{D}_1=(-2,2,2)$。

$\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}=2\times (-2)+2\times 2+(-2)\times 2=-4+4-4=-4$。

$|\overrightarrow{A_{1}C}|=2\sqrt{3}$、$|\overrightarrow{B{D}_1}|=2\sqrt{3}$，$\cos \theta =\frac{|-4|}{2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。

例 2：求平面 $ABC$ 的法向量，其中 $A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$。

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$、$\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$。设法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$，由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0$、$\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ 得 $-x+y=0$、$-x+z=0$，即 $y=x$、$z=x$，可取 $\vec{n}=(1,1,1)$。

例 3：已知平面 $\alpha$ 的法向量 $\vec{n}=(1,2,-2)$，$A(0,0,0)$ 在 $\alpha$ 内，求点 $P(3,4,5)$ 到 $\alpha$ 的距离。

$\overrightarrow{AP}=(3,4,5)$，$\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}=3+8-10=1$，$|\vec{n}|=\sqrt{1+4+4}=3$，$d=\frac{|1|}{3}=\frac{1}{3}$。

对比

项目	平面向量	空间向量
维数	2（坐标 $(x,y)$）	3（坐标 $(x,y,z)$）
模	$\sqrt{x^2+y^2}$	$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
数量积	$x_1{x}_2+y_1{y}_2$	$x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$
应用	平面几何、解三角形	立体几何、空间位置关系