分式的运算

定义

分式的运算：在分式基本性质支撑下，对分式进行的乘、除、加、减四类运算，结果须化为最简分式或整式。

推导

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}(b\ne 0,d\ne 0)$

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}(b\ne 0,c\ne 0,d\ne 0)$

加减法法则：

• 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减：

$\frac{a}{c}\pm \frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}(c\ne 0)$

• 异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再加减：

$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}(b\ne 0,d\ne 0)$

乘方法则：分式乘方是把分子、分母分别乘方。

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}(b\ne 0,n\in {\mathbb{Z}}^{+})$

典例精析

例 1（乘除混合）：计算 $\frac{x^2-4}{x+1}\cdot \frac{x+1}{x-2}÷\frac{1}{x+2}$。

先把除法变乘法：

$\frac{x^2-4}{x+1}\cdot \frac{x+1}{x-2}\cdot \frac{x+2}{1}$

约分：

$\frac{(x+2)(x-2)}{x+1}\cdot \frac{x+1}{x-2}\cdot (x+2)=(x+2{)}^2$

故结果为 $(x+2{)}^2$（$x\ne -1,x\ne 2,x\ne -2$）。

例 2（异分母加减）：计算 $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^2-1}$。

注意到 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，最简公分母为 $(x-1)(x+1)$，通分：

$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}$

合并分子：

$\frac{(x+1)+(x-1)-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x+1}$

故结果为 $\frac{2}{x+1}$（$x\ne \pm 1$）。

对比

运算	公式	关键操作
乘法	$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$	分子相乘、分母相乘、约分
除法	$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$	除式颠倒位置变乘法
同分母加减	$\frac{a}{c}\pm \frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$	分母不变、合并分子
异分母加减	$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$	先通分后加减
乘方	${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$	分子分母分别乘方