有理数的乘法与除法

定义

有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 $0$ 相乘，都得 $0$。

倒数：乘积是 $1$ 的两个数互为倒数。$0$ 没有倒数；乘积是 $-1$ 的两个数有时称为互为负倒数。

有理数的除法法则：除以一个不等于 $0$ 的数，等于乘这个数的倒数，即

$a÷b=a\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)$

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。$0$ 除以任何一个不等于 $0$ 的数，都得 $0$；$0$ 不能作除数。

乘法符号规则的展开

多个不为 $0$ 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正，口诀「奇负偶正」；只要有一个因数为 $0$，积就是 $0$。例如

$(-2)\times (-3)\times (-4)=-24$

其中有三个负因数，个数为奇，积为负。数负因数的个数是这类题最容易出错的一步，建议先把负因数逐个圈出来再数。确定符号之后，再把所有绝对值连乘即可。

乘法运算律

乘法的交换律、结合律、分配律在有理数范围内仍然成立：

• 交换律：$ab=ba$；
• 结合律：$(ab)c=a(bc)$；
• 分配律：$a(b+c)=ab+ac$。

分配律是后面学习去括号与合并同类项的地基。使用分配律时，括号内的每一项都要乘，并且要连同符号一起乘，如 $-3(2x-5)=-6x+15$：漏乘 $-5$ 那一项，或把 $(-3)\times (-5)$ 误算成 $-15$，都是常见问题。逆用分配律 $ab+ac=a(b+c)$ 可以凑整简算，如 $25\times 17\times 4=25\times 4\times 17=1700$。

除法统一为乘法

与「减法统一为加法」完全平行，除法可以统一为乘法：除以 $b$（$b\ne 0$）就是乘 $\frac{1}{b}$。因此除法没有额外的新规则——先定符号，再把绝对值相除；或先化为乘法，再用乘法法则。如

$(-12)÷(-3)=+(12÷3)=4,\left(-\frac{3}{4}\right)÷\frac{9}{8}=\left(-\frac{3}{4}\right)\times \frac{8}{9}=-\frac{2}{3}$

乘除混合运算从左到右依次进行，也可以先把除法全部化为乘法，再一起约分，这样通常更快捷。

为什么 0 不能作除数

若允许 $a÷0$ 有意义，设商为 $x$，则应有 $0\cdot x=a$。当 $a\ne 0$ 时找不到这样的 $x$；当 $a=0$ 时任何数都满足，商不唯一。两种情况都无法给出确定的商，所以规定 $0$ 不能作除数。注意「$0$ 不能作除数」与「$0$ 作被除数得 $0$」是两回事，不要混淆。

典例精析

计算：$(-2.5)\times (-4)=+(2.5\times 4)=10$；$(-72)÷8=-(72÷8)=-9$。

求倒数：$-\frac{3}{5}$ 的倒数是 $-\frac{5}{3}$（取倒数符号不变）；$-1$ 的倒数是它本身；$0$ 没有倒数。

用分配律计算 $-24\times \left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\right)$：

$-24\times \frac{1}{2}+(-24)\times \left(-\frac{3}{4}\right)+(-24)\times \frac{5}{6}=-12+18-20=-14$

与其他知识的联系

乘除法则中的「奇负偶正」在乘方中直接升级为幂的符号规则；倒数为「除以一个数等于乘它的倒数」提供语言工具，也为以后负整数指数幂做铺垫。分配律贯通乘法与加减法，是整式运算与解方程中去括号步骤的共同来源。

对比

两数相乘	同号	异号
积的符号	正	负
绝对值	绝对值相乘	绝对值相乘

特殊情况	结果
任何数同 0 相乘	都得 0
除以一个不为 0 的数	等于乘这个数的倒数
0 作除数	无意义，禁止