因式分解

定义

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解（也叫分解因式）。

因式分解与整式乘法互为逆运算——一个把积展开成多项式，另一个把多项式写成积：

• 整式乘法（展开）：$(a+b)(a-b)\to a^2-b^2$
• 因式分解（分解）：$a^2-b^2\to (a+b)(a-b)$

同一个等号，从左往右读是整式乘法，从右往左读是因式分解。做题时先认清自己要往哪个方向走，是这一章最基本的一件事。

推导

常用三种方法分步示例。

1. 提公因式法：找各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂。

$6x^{2}y+4x{y}^2=2xy(3x+2y)$

确定公因式的办法分两步：系数取各项系数的最大公约数（$6$ 与 $4$ 取 $2$）；字母取各项都含有的字母的最低次幂（$x^2$ 与 $x$ 取 $x$，$y$ 与 $y^2$ 取 $y$）。若首项系数为负，通常先把负号提出来，括号内各项随之变号。

2. 公式法：

• 平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
• 完全平方公式：$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2$

用公式法的关键是把式子看成公式的样子：$x^4-1$ 要看出 $(x^2{)}^2-1^2$，$4x^2-9y^2$ 要看出 $(2x{)}^2-(3y{)}^2$。

3. 十字相乘法：对 $x^2+px+q$ 形式的二次三项式，找两个数 $m$、$n$ 使 $m+n=p$，$m\cdot n=q$，则

$x^2+px+q=(x+m)(x+n)$

若二次项系数不是 $1$（如 $2x^2-5x-3$），则要同时拆二次项与常数项，用交叉相乘之和凑出一次项系数：

$2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)$

检验的办法是乘回去：$2x\cdot (-3)+1\cdot x=-6x+x=-5x$，与一次项一致。

分解的一般顺序

拿到一个多项式，按下面的顺序处理，几乎不会漏：

1. 先看有没有公因式——有就先提出来（这一步永远排第一）
2. 再看项数：两项考虑平方差；三项考虑完全平方或十字相乘；四项以上考虑分组分解
3. 最后检查每个因式还能不能再分解——必须分解到不能再分解为止

第 1 步最容易被跳过，而跳过它往往让后面越算越复杂。例如 $2x^2-8$ 应先提 $2$ 得 $2(x^2-4)$，再用平方差得 $2(x+2)(x-2)$；直接套公式就会漏掉系数 $2$。

怎么判断分解彻底了

标准是：每个因式在指定范围内都不能再分解。常见的漏解有两种：

• $x^4-1$ 只分解到 $(x^2+1)(x^2-1)$，但 $x^2-1$ 还能再分成 $(x+1)(x-1)$
• $x^3-x$ 只提出 $x$ 得 $x(x^2-1)$，同样没做完

做完之后把结果重新乘开，看能否回到原式——这是最可靠的自检。

典例精析

例 1 分解 $x^2-9$。

解：$9=3^2$，套平方差公式：

$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$

例 2 分解 $x^2+6x+9$。

解：$9=3^2$，$6x=2\cdot x\cdot 3$，是完全平方：

$x^2+6x+9=(x+3{)}^2$

例 3 分解 $2x^2-5x-3$。

解：用十字相乘法。十字交叉：$2x\cdot (-3)+1\cdot x=-5x$，所以

$2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)$

例 4 分解 $x^4-1$。

解：连续用两次平方差公式：

$x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)$

其中 $x^2+1$ 在实数范围内不能再分解，到此为止。

常见错：把 $(x+1)(x-1)=x^2-1$ 当成因式分解——方向反了，那是整式乘法；因式分解的结果必须是积的形式。

与其他知识的联系

因式分解是整式乘法的逆运算，它的用处贯穿之后的代数：

• 分式：约分要先分解出分子分母的公因式；通分要分解分母才能找到最简公分母
• 一元二次方程：因式分解法解方程（把 $x^2-5x+6=0$ 化为 $(x-2)(x-3)=0$）比套公式快得多
• 二次函数：分解成交点式可直接读出图象与 $x$ 轴的交点

把「和差形式」变成「乘积形式」，本质上是为了让「乘积为 $0$ 则至少有一个因式为 $0$」这一推理可用——这是因式分解最重要的价值。

对比

方法	适用形式
提公因式法	各项有公共的因式
公式法	符合平方差或完全平方的形式
十字相乘法	二次三项式

比较项	整式乘法	因式分解
方向	几个整式相乘，积是和的形式	把多项式化成几个整式的积
关系	与因式分解互为逆变形	分解必须进行到不能再分为止