方案选择：用一次函数比较哪种购买方式更划算
两种以上收费方案比较优劣，标准做法是各列一个一次函数，求出交点（临界值），再看实际用量落在交点哪一侧。交点两侧结论相反，这是方案选择题的全部套路。
生活场景：商场打折与满减、办会员卡还是单次购买、两家快递比价、手机套餐选择：同一笔消费存在两种以上计价方式，要挑出总花费最少的一种。
数学关联：每种方案的总费用都是用量的一次函数 $y=kx+b$，比较方案就是比较两条直线的高低；交点横坐标是「临界用量」，是结论反转的分水岭。
适用前提与边界条件
- 已会求一次函数解析式与两直线交点
- 实际购买量非负，比较时以「总费用」为唯一标准（除非题目另有限制）
三步通法
以「A 店全场 8 折，B 店满 100 减 30」为例：
- 列函数：；（；不满 100 时 ）
- 求交点：。临界值 150 元
- 下结论：取 验证：、，A 便宜；取 ：、，B 便宜
结论：超过 150 元选 A，100～150 元选 B，不足 100 元两店相同。
为什么必须算临界值
| 直觉 | 数学 |
|---|---|
| 「8 折总比减 30 划算吧」 | 买 120 元时 8 折 96 元，满减后 90 元——直觉错了 |
| 「满 100 减 30 力度大」 | 买 300 元时满减后 270 元，8 折 240 元——又错了 |
同一张优惠单，用量不同结论相反。这就是一次函数图象的威力：谁在下，谁便宜；交点换边，结论反转。
画图象一眼看清
把 、 画在同一坐标系：两线交于 。交点左侧 在下（B 便宜），右侧 在下（A 便宜）。三个以上方案时图象法更好用——最下方的折线就是各用量区间的最优解，这与「分段函数取最小值」一脉相承。
常见变式
- 会员卡：单次价高、会员价低但收年费。年费进入 ，临界值是「一年至少消费多少次才回本」
- 阶梯优惠：买得越多折扣档位越低，费用函数本身就是分段的，先分段再比较
- 双优惠不可同享：分别计算后取小，不可把两种折扣叠加
正例与反例
✅ 正例
- A 店全场 8 折，B 店满 100 减 30：设购物 元，，（），交点 ，超过 150 选 A，100 到 150 选 B
❌ 反例
- 买 200 元仍选「满 100 减 30」付 170 元：已超过临界值 150，A 店 8 折只需 160 元，凭印象选方案多花了 10 元
高频误解与考试易错
- 凭感觉选方案：买得少选会员打折未必划算，必须算过临界值再下结论
- 交点求对、方向判错：交点左侧谁便宜与右侧谁便宜是两件事，要各取一个值验证
- 忽略限制条件：会员卡有工本费、优惠券有使用门槛，都要计入总费用
常见问题
方案选择题的固定步骤是什么？
三步：各方案分别列出总费用关于用量的一次函数；联立求交点得临界值；按实际用量与临界值比较大小下结论。
交点是什么意思？
两种方案费用相同的用量。恰好在交点时任选都行；偏离交点，一侧 A 便宜、另一侧 B 便宜。
三个方案怎么比？
两两求交点，把数轴分成几段，每段取一个代表值代入比较；或画在同一张坐标系里，最低的那条线就是最优方案。
依据与出处
- 人教版（2024 审定）八年级下册第二十三章《一次函数》：课题学习「选择方案」（2026 春起使用）