反证法及其应用

定义

反证法（归谬法）：不直接从题设推出结论，而是先假设命题结论的否定成立，然后从这个假设和已知条件出发，经过正确推理，推出矛盾，由此说明假设不成立，从而肯定原结论成立的证明方法。

三个步骤：

1. 反设：否定结论（注意否定要全面、准确）；
2. 归谬：以反设为条件推出矛盾——与已知条件矛盾、与定义或基本事实矛盾、与已证定理矛盾，或推理过程自相矛盾；
3. 结论：矛盾说明反设错误，故原结论成立。

推导（经典范例）

例 1：两条直线相交只有一个交点。

反设：直线 $a$、$b$ 相交于两个不同的点 $P$、$Q$。

归谬：那么经过 $P$、$Q$ 有两条不同的直线 $a$、$b$，但基本事实是「两点确定一条直线」——经过两点有且只有一条直线，矛盾。

结论：反设不成立，两条相交直线只有一个交点。$■$

例 2：过同一直线上的三点不能作圆。

已知 $A、B、C$ 三点共线，求证没有圆经过这三点。

反设：存在 $\odot O$ 经过 $A、B、C$，则 $OA=OB=OC$。

归谬：由 $OA=OB$，$O$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上；由 $OB=OC$，$O$ 又在线段 $BC$ 的垂直平分线上。但 $AB、BC$ 在同一直线上，两条垂直平分线互相平行（都垂直于同一直线），没有交点，与「$O$ 同时在两条平行线上」矛盾。

结论：共线三点不能作圆。$■$

例 3（数量型）：若 $a^2$ 是偶数，则 $a$ 是偶数。

反设：$a$ 是奇数，设 $a=2k+1$，则 $a^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ 是奇数，与已知「$a^2$ 是偶数」矛盾。故 $a$ 必为偶数。$■$

典例精析

例 1（否定型）求证：一个三角形中不能有两个直角。

反设：$△ABC$ 中 $\angle A=90^{\circ }$ 且 $\angle B=90^{\circ }$。

归谬：则 $\angle A+\angle B=180^{\circ }$，于是 $\angle A+\angle B+\angle C>180^{\circ }$，与三角形内角和等于 $180^{\circ }$ 矛盾。

结论：三角形中不可能有两个直角。

例 2（至少型）已知 $△ABC$ 的三个内角都不大于 $90^{\circ }$，求证这三个角中至少有一个角不大于 $60^{\circ }$。

反设：三个角都大于 $60^{\circ }$，即 $\angle A>60^{\circ }$、$\angle B>60^{\circ }$、$\angle C>60^{\circ }$。

归谬：三式相加得 $\angle A+\angle B+\angle C>180^{\circ }$，与三角形内角和 $=180^{\circ }$ 矛盾。

结论：三个角中至少有一个不大于 $60^{\circ }$。

反设要点：「至少有一个 $\le 60^{\circ }$」的否定是「全部 $>60^{\circ }$」（一个都没有），不是「至多一个」。这是反证法最容易设错的地方。

对比

证明方法	思路	适用
综合法（直接证法）	由因导果，直接推出	思路通畅的常规题
分析法	执果索因，倒推充分条件	寻找证明思路
反证法	否定结论 → 推出矛盾	唯一性、至多至少、否定型命题

与其他知识的联系

• 命题、定理与证明：反证法是对”命题结构”的运用——要证 $p\Rightarrow q$，先反设结论的否定 $\neg q$ 推出矛盾，与四种命题、逆否命题同一逻辑源头。
• 确定圆的条件：证明”过不在同一直线上的三点有且只有一个圆”需证”唯一性”，反证法（假设存在两个圆）是标准做法。
• 切线的判定与性质：切线的”唯一性”、过圆上一点切线唯一等命题也常用反证法处理。