含30°角的直角三角形

推导

翻折补成等边三角形：Rt$△ABC$ 中 $\angle C=90°$、$\angle BAC=30°$，则 $\angle B=60°$。

延长 $BC$ 到 $B^{\prime }$，使 $C{B}^{\prime }=BC$，连 $A{B}^{\prime }$。

直线 $AC$ 垂直平分 $B{B}^{\prime }$（$AC\perp B{B}^{\prime }$ 且 $C$ 是 $B{B}^{\prime }$ 中点）。由垂直平分线性质定理：

$AB=A{B}^{\prime }$

又由对称性，$\angle B^{\prime }AC=\angle BAC=30°$，故

$\angle BA{B}^{\prime }=30°+30°=60°$

在 $△AB{B}^{\prime }$ 中，$AB=A{B}^{\prime }$ 且顶角 $\angle BA{B}^{\prime }=60°$，故 $△AB{B}^{\prime }$ 是等边三角形（有一个 $60°$ 角的等腰三角形是等边三角形）：

$B{B}^{\prime }=AB$

而 $B{B}^{\prime }=2BC$，所以

$BC=\frac{1}{2}B{B}^{\prime }=\frac{1}{2}AB■$

三边比：由勾股定理，长直角边 $AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{4-1}BC=\sqrt{3}BC$，故三边比为 $1:\sqrt{3}:2$。

逆定理：$BC=\frac{1}{2}AB$，同样翻折得 $B{B}^{\prime }=2BC=AB=A{B}^{\prime }$，$△AB{B}^{\prime }$ 三边相等为等边三角形，$\angle BA{B}^{\prime }=60°$，由对称 $\angle BAC=30°$。$■$

典例精析

$△ABC$ 中 $\angle C=90°$、$\angle A=30°$，$D$ 为斜边 $AB$ 中点，$CD=5$，求 $AC$。

由斜边中线定理：$AB=2CD=10$。由本定理：$BC=\frac{1}{2}AB=5$。

$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{100-25}=5\sqrt{3}$

对比