黄金分割

定义

点 $C$ 把线段 $AB$ 分成两段 $AC$（长）、$CB$（短），如果

$\frac{AC}{AB}=\frac{CB}{AC}$

就称这种分割为黄金分割，点 $C$ 叫线段 $AB$ 的一个黄金分割点，比值

$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$

称为黄金比。

比例式要读准：左边是「长段比全段」，右边是「短段比长段」。两个分母并不相同——一个拿全长作标准，一个拿长段作标准。若写成 $\frac{AC}{AB}=\frac{CB}{AB}$ 就错了：分母相同只能推出 $AC=CB$，比值为 $\frac{1}{2}$，并不是黄金比。

一条线段上有两个黄金分割点：靠近 $B$ 的是 $C$（$AC$ 为长段），靠近 $A$ 的还有一点 $C^{\prime }$（$B{C}^{\prime }$ 为长段），两者关于线段的中点对称。所以当题目只说「黄金分割点」而没有指明靠近哪一端时，要想到可能有两个答案。

推导

设 $AB=1$，较长段 $AC=x$，则较短段 $CB=1-x$。由定义：

$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$

交叉相乘：

$x^2=1-x⟹x^2+x-1=0$

由一元二次方程求根公式：

$x=\frac{-1\pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

线段长度为正，舍去负根：

$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618■$

等价形式：由比例式交叉相乘直接得

$A{C}^2=AB\cdot CB$

即较长段是全段与较短段的比例中项。

另一个分割点：在靠近另一端 $B$ 处同样可找到一点 $C^{\prime }$，使 $B{C}^{\prime }$ 为较长段。故每条线段上有两个黄金分割点，关于中点对称。

0.618 与 1.618：两个值别混

值	表达式	近似值	含义
黄金比	$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$	$0.618$	长段占全段的比；也是短段占长段的比
黄金比的倒数	$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$	$1.618$	全段占长段的比；也是长段占短段的比

两者互为倒数，相乘恰好等于 $1$。做题前先看要的是小值还是大值：通常说「黄金比」指 $0.618$；而黄金矩形的长宽比用的是 $1.618$。

尺规怎么找黄金分割点

已知线段 $AB$，求它的黄金分割点，步骤是：

1. 过 $B$ 作 $BD\perp AB$，取 $BD=\frac{1}{2}AB$
2. 连接 $AD$，在 $AD$ 上截取 $DE=DB$
3. 在 $AB$ 上截取 $AC=AE$

则 $C$ 即为所求。理由是：设 $AB=1$，则 $BD=\frac{1}{2}$，由勾股定理

$AD=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

于是

$AE=AD-DE=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

正是黄金比。

这里的关键动作是构造 $\sqrt{5}$——作直角边为 $1$ 与 $\frac{1}{2}$ 的直角三角形，斜边自然带出根号。同一手法在平面上作 $\sqrt{2}$、$\sqrt{13}$ 等无理数时都会用到（见在数轴上表示无理数）。

黄金矩形与斐波那契数列

黄金矩形：长宽比为 $1.618$ 的矩形。从它的一端剪去一个正方形，剩下的小矩形与原矩形相似，这个过程可以无限进行下去，得到一串自相似的矩形——这是「黄金」这个名称的重要来源。

斐波那契数列 $1,1,2,3,5,8,13,\cdots$ 中，相邻两项之比逐渐趋于黄金比：

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{8},\cdots ⟶\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

（后项比前项 $\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{5}{3},\cdots$ 则趋于黄金比的倒数 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.618$。）

五角星中也到处是黄金分割：每条对角线都被另一条对角线按黄金比分割。这是黄金分割在图形中最自然的出现方式。

需要说清楚的是：黄金分割在绘画、建筑、摄影中被认为「最美」的说法流传很广，但它属于文化与经验层面的判断，并无严格的数学或生理学依据。数学部分（比值、自相似、斐波那契的收敛）是确定的，审美部分是另一回事。

典例精析

已知线段 $AB=4$，点 $C$ 是靠近 $B$ 的黄金分割点（$AC>CB$），求 $AC$、$CB$。

$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\times 4=2(\sqrt{5}-1)$

$CB=4-AC=4-2\sqrt{5}+2=6-2\sqrt{5}$

再练一道求近似值的：线段长为 $10$，求黄金分割所得的长段与短段（精确到 $0.01$）。

长段为 $10\times \frac{\sqrt{5}-1}{2}=5(\sqrt{5}-1)\approx 6.18$，短段为 $10-6.18=3.82$。

检验：$6.18^2\approx 38.2$，而 $10\times 3.82=38.2$，符合「长段的平方等于全段乘短段」。这个检验式比比例式更好用，因为它只涉及乘法。

对比

分割方式	长段占全段比
中点平分	$0.5$
黄金分割	$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$
三等分点	$\frac{2}{3}\approx 0.667$

与其他知识的联系

黄金分割是「比例线段」这一块里最有名的一个应用：它的推导依赖一元二次方程，它的各种表现形式依赖相似。

往后，这个比值会在三处反复出现——斐波那契数列的极限、正五边形与五角星的作图、黄金矩形的自相似构造。它也是把「方程」「比例」「相似」三块知识串在一起的一个好例子。