人教版五年级下册第八单元《数学广角——找次品》教材同步学习指南

学习顺序

8.1 找次品的策略

从简单入手：

• 3 个物品找 1 个较轻的次品：任取 2 个上天平，平衡则剩下的是次品，不平衡则轻的是次品，只需 1 次。
• 9 个物品找 1 个较轻的次品：分成（3,3,3），先称其中两份确定次品在哪 3 个；再从这 3 个中称 1 次找出，共 2 次。

关键：每称一次，把嫌疑范围缩小到原来的 $\frac{1}{3}$。

8.2 优化方法

最优策略：平均分成 3 份；不能平均分时尽量接近。

例：8 个物品找 1 个较轻次品，分成（3,3,2）。先称 3 与 3：

• 平衡：次品在剩下的 2 个中，再称 1 次；
• 不平衡：次品在较轻的 3 个中，再称 1 次。

共 2 次即可保证找到。

规律：称 $n$ 次最多管 $3^n$ 个——23 个称 1 次，49 个称 2 次，10~27 个称 3 次。

为什么分 3 份而不是 2 份：天平有 3 种结果，分 3 份每次能排除 $\frac{2}{3}$；只分 2 份每次只能排除 $\frac{1}{2}$，效率更低。

本章的三条主线结论

1. 最优策略是三分法：平均分成 3 份，不能平均分时让各份尽量接近。
2. 称一次排除三分之二：天平有 3 种结果，分 3 份称量效率最高。
3. 次数规律是 3 的 n 次方：称 $n$ 次最多从 $3^n$ 个物品中保证找出次品。

最易错：把物品分成 2 份而不是 3 份；不能平均分时各份差距过大；次数规律记错（$n$ 次对应 $3^n$ 个，不是 $2^n$）。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 3 个零件中找 1 个较轻次品，至少称几次？——1 次。
2. 9 个零件中找 1 个较轻次品，至少称几次？——2 次。
3. 27 个零件中找 1 个较轻次品，至少称几次？——3 次。
4. 8 个零件中找 1 个较轻次品，至少称几次？——2 次（分成 3、3、2）。
5. 找次品为什么分 3 份而不分 2 份？——天平有 3 种结果，分 3 份每次排除 $\frac{2}{3}$，比分 2 份排除 $\frac{1}{2}$ 效率高。
6. 称 4 次最多能从多少个零件中保证找出次品？——$3^4=81$ 个。

第 1、2 题出错说明基础称量过程不熟；第 3、4 题出错说明三分法运用不熟；第 5 题出错说明原理不清；第 6 题出错说明次数规律不熟。

学完本章之后

找次品培养优化思想与逻辑推理能力：

• 六年级《数学广角——鸽巢问题》：继续训练推理与建模能力。
• 初中《一元一次方程》《不等式》：逻辑推理是代数思维的基础。
• 信息科学：二分查找、三分查找等算法与本章思想相通。
• 生活应用：质量检测、故障排查都要用「最少次数定位问题」的思路。

一句口诀收尾：找次品，用天平，平均分成三份称；不能平均尽量匀，称一次排除三分二；一次管三，二次管九，三次二十七，n 次管住 3 的 n 次方。