人教A版必修第一册第五章《三角函数》教材同步学习指南

定义

本章把初中的锐角三角函数扩展为定义在任意角（实数）上的三角函数，主线工具是单位圆。角的概念推广后，一条射线绕端点旋转形成任意角（逆时针为正、顺时针为负）；把角放在平面直角坐标系中，顶点在原点、始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边落在第几象限就是第几象限角。设角 $\alpha$ 终边与单位圆交于点 $P(x,y)$，则定义

$$\sin \alpha =y,\cos \alpha =x,\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0).$$

这一坐标定义使三角函数脱离直角三角形，成为实数到实数的函数，周期性、对称性都能从圆上直接读出。全章沿「度量（弧度制）→ 定义 → 化简工具（同角关系、诱导公式）→ 图象性质 → 恒等变换 → 正弦型函数 → 实际应用」推进，5.6 的 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 是全章综合，5.7 用它描述匀速圆周运动、简谐运动、潮汐等周期现象。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
5.1.1 任意角	角的推广	正角/负角/零角；象限角；终边相同的角 $\alpha +2k\pi$
5.1.2 弧度制	新的度量单位	$1\text{rad}=\frac{180^{\circ }}{\pi }$；$l=|\alpha |r$、$S=\frac{1}{2}lr$
5.2.1 三角函数的概念	单位圆坐标定义	$\sin \alpha =y$、$\cos \alpha =x$、$\tan \alpha =y/x$；符号规律
5.2.2 同角基本关系	化简求值	${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$；$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$
5.3 诱导公式	化任意角为锐角	公式一至六；奇变偶不变，符号看象限
5.4.1–5.4.2 正弦、余弦	图象与性质	五点法；定义域值域、周期、奇偶、单调、对称轴
5.4.3 正切函数	图象与性质	$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$；周期 $\pi$；奇函数；渐近线
5.5.1 两角和差公式	恒等变换核心	$C_{\alpha \pm \beta }$、$S_{\alpha \pm \beta }$、$T_{\alpha \pm \beta }$；二倍角
5.5.2 简单的三角恒等变换	公式综合运用	降幂、半角、辅助角；化简求值证明
5.6 $y=A\sin (\omega x+\phi )$	综合图象变换	振幅 $A$、周期 $\frac{2\pi }{|\omega |}$、初相 $\phi$；五点作图
5.7 三角函数的应用	周期现象建模	圆周运动、简谐运动、交变电流模型

5.1 任意角和弧度制

任意角：逆时针旋转为正角，顺时针为负角，不转为零角。与角 $\alpha$ 终边相同的角构成集合 $\{\beta \mid \beta =\alpha +k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$。按终边位置分为象限角与轴线角（如 $90^{\circ }$ 终边在 $y$ 轴上，不属于任何象限）。

弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角为 $1$ 弧度。换算关系

$$\pi \text{rad}=180^{\circ },1\text{rad}={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }\approx 57.3^{\circ },1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{rad}.$$

特殊角要背熟：$30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$、$45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$、$60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$、$90^{\circ }=\frac{\pi }{2}$、$180^{\circ }=\pi$。弧度制下弧长公式 $l=|\alpha |r$、扇形面积 $S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}|\alpha |r^2$（$\alpha$ 必须用弧度）。此后三角函数中的角无特殊说明一律以弧度为单位。

5.2 三角函数的概念

设终边上任意点 $P(x,y)$，$r=\sqrt{x^2+y^2}$，一般定义 $\sin \alpha =\frac{y}{r}$、$\cos \alpha =\frac{x}{r}$、$\tan \alpha =\frac{y}{x}$（单位圆时 $r=1$）。三个函数的定义域：正弦、余弦为 $\mathbb{R}$；正切要求 $x\ne 0$，即 $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$。

符号规律「一全正、二正弦、三正切、四余弦」：第一象限三个都正；第二象限只有正弦正；第三象限正切正；第四象限余弦正。单位圆中的有向线段给出三角函数线，是画图象与理解诱导公式的几何工具。

同角三角函数的基本关系（5.2.2）：

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha .$$

已知一个函数值可求另外两个（务必先由角所在象限定符号）；两式是「齐次式化切」「$1$ 的代换」的基础。

5.3 诱导公式

公式一：终边相同的角同名函数相等（$\sin (\alpha +2k\pi )=\sin \alpha$ 等）。公式二至六处理 $\pi \pm \alpha$、$-\alpha$、$\frac{\pi }{2}\pm \alpha$。统一口诀：

奇变偶不变，符号看象限。

把角写成 $\frac{k\pi }{2}\pm \alpha$：$k$ 为偶数，函数名不变；$k$ 为奇数，正弦与余弦互换、正切与余切互换。定符号时把 $\alpha$ 视为锐角，判断原角所在象限中原函数的正负。例如 $\sin (\pi -\alpha )$：$k=2$ 偶，名不变；$\pi -\alpha$ 在第二象限，正弦为正，故等于 $\sin \alpha$。利用诱导公式，任意角的三角函数都可化为锐角三角函数查表求值。

5.4 三角函数的图象与性质

正弦、余弦曲线用「五点法」画一个周期：正弦取 $x=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$（对应 $y=0,1,0,-1,0$）；余弦取 $0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$（$y=1,0,-1,0,1$）。

性质	$y=\sin x$	$y=\cos x$	$y=\tan x$
定义域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$
值域	$[-1,1]$	$[-1,1]$	$\mathbb{R}$
周期	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
奇偶性	奇（原点对称）	偶（$y$ 轴对称）	奇（原点对称）
单调递增区间	$\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$	$[-\pi +2k\pi ,2k\pi ]$	$\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$

正弦的对称轴为 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$、对称中心 $(k\pi ,0)$；余弦的对称轴为 $x=k\pi$。正切图象由被渐近线 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 隔开的无穷多支曲线组成，每支上递增，但不能说它在整个定义域上递增。

5.5 三角恒等变换

本节是 2019 版前移内容，核心公式（5.5.1）：

$$\begin{array}{rl}& \cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,\\ & \sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,\\ & \tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }.\end{array}$$

令 $\beta =\alpha$ 得二倍角公式：$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$，$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$，$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$。公式的「源头」是两角差的余弦（可由单位圆上弦长或向量数量积推出），其余都由它代换得到。

5.5.2 的常用变形：降幂公式 ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$、${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$；辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$。化简题遵循「三看」：看角（拆角拼角统一角）、看名（切化弦或弦化切）、看式（次数与结构，适时降幂）。

5.6 函数 y=Asin(ωx+φ)

从匀速圆周运动抽象出正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$（$A>0,\omega >0$）：振幅为 $A$（值域 $[-A,A]$），周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，频率 $f=\frac{1}{T}$，$\omega x+\phi$ 为相位，$x=0$ 时的相位 $\phi$ 为初相。

由 $y=\sin x$ 变换得到它的两条路线：

1. 先平移后伸缩：向左（$\phi >0$）平移 $\phi$ 个单位 → 横坐标变为原来的 $1/\omega$（纵不变）→ 纵坐标变为原来的 $A$ 倍；
2. 先伸缩后平移：先横缩 $1/\omega$，再平移 $\frac{\phi }{\omega }$ 个单位（注意平移量不是 $\phi$，这是最大易错点）。

求解析式常用「五点法」反推：由图象读出 $A$、周期定 $\omega$、再用一个已知点定 $\phi$。写单调区间时，令 $t=\omega x+\phi$ 套入正弦的模板区间解 $x$，即得全部周期上的结果。

5.7 三角函数的应用

圆周运动中，质点的纵坐标（或横坐标）随时间按 $y=A\sin (\omega t+\phi )$ 变化；类似模型还有弹簧振子、单摆小角振动、交变电流 $i=I_m\sin (\omega t+\phi )$、海水潮汐等。解题步骤是「读周期定 $\omega$、读振幅定 $A$、读初始位置定 $\phi$」，再用解析式回答高度、时间、次数等问题。

本章的三条主线结论

1. 单位圆是定义与公式的总根：三角函数是终边交点的坐标，符号、诱导公式、同角关系、五点图象都能在圆上看出来，不要死背。
2. 研究函数仍走第三章范式：定义域、值域、周期、奇偶、单调、对称中心与轴；三角比以前多了「周期性」，性质结论都要加 $k\in \mathbb{Z}$ 写成族。
3. 恒等变换服务于「化成一个角的一种函数」：两角和差是源头，二倍角、降幂、辅助角是派生；$a\sin x+b\cos x$ 合一变形后才能顺畅研究周期、最值与单调区间。

最易错：弧度角度混用、诱导公式只走一半、求角漏象限与漏 $2k\pi$、先伸缩后平移时平移量误写为 $\phi$、正切单调区间漏掉间断点。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 换算：$210^{\circ }=$ 多少弧度？$\frac{3\pi }{4}=$ 多少度？半径为 4、圆心角 $\frac{\pi }{3}$ 的弧长是多少？——$\frac{7\pi }{6}$；$135^{\circ }$；$l=4\times \frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$。
2. 已知角 $\alpha$ 终边过点 $P(-3,4)$，求 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$。——$r=5$，$\sin \alpha =\frac{4}{5}$、$\cos \alpha =-\frac{3}{5}$、$\tan \alpha =-\frac{4}{3}$。
3. 化简：$\sin (\pi +\alpha )=$？$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=$？$\tan (2\pi -\alpha )=$？——$-\sin \alpha$；$-\sin \alpha$；$-\tan \alpha$。
4. 求函数 $y=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的振幅、周期和一条单调递增区间。——振幅 2，周期 $\pi$；令 $-\frac{\pi }{2}\le 2x-\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}$，得 $\left[-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right]$（一个代表）。
5. 已知 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\alpha$ 为第二象限角，求 $\cos \alpha$、$\tan \alpha$。——$\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$，$\tan \alpha =-\frac{3}{4}$。
6. 求 $\sin 75^{\circ }$ 的精确值。——$\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

第 2、5 题出错说明定义与象限符号不过关；第 3 题出错要重背口诀；第 4 题出错说明换元求区间没掌握；第 6 题出错说明和角公式不会用。

7.（易错辨析）已知 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\alpha$ 为第二象限角，求 $\sin 2\alpha$、$\cos 2\alpha$、$\tan 2\alpha$。——$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$；$\sin 2\alpha =-\frac{24}{25}$；$\cos 2\alpha =\frac{7}{25}$；$\tan 2\alpha =-\frac{24}{7}$。 第 7 题出错说明二倍角公式使用不熟练，或象限符号判断有误。

学完本章之后

三角函数是高中数学联系面最广的一章：

• 必修第二册《平面向量及其应用》：用向量数量积可重证两角差的余弦公式；解三角形（正弦定理、余弦定理）以本章为直接基础。
• 必修第二册第七章《复数》：复数的三角表示 $r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$ 与三角乘法公式相通。
• 物理与高考：简谐运动、机械波、交变电流都以正弦型函数为数学语言；图象变换、恒等变换求周期最值、给值求角是高考解答题的高频题型。

一句口诀收尾：角推广、弧度制，单位圆上定三函；同角平方与商数，诱导「奇变偶不变、符号看象限」；和差倍角化一角，$A\sin (\omega x+\phi )$ 周期振幅看参数。