数列的概念与表示

推导

通项公式与递推公式：

• 通项公式：$a_n=f(n)$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），直接给出第 $n$ 项与 $n$ 的关系；
• 递推公式：给出 $a_{n+1}$ 与 $a_n$（或前几项）的关系及初始条件。

$a_n$ 与 $S_n$ 的关系：

$a_n=\{\begin{array}{ll}{S}_1& (n=1)\\ S_n-S_{n-1}& (n\ge 2)\end{array}$

使用时务必分开 $n=1$ 与 $n\ge 2$ 两段处理，检验 $a_1$ 是否符合 $n\ge 2$ 段公式，若符合可合并写一个公式。

求通项常用方法：

1. 直接观察法（前几项观察规律）；
2. 公式法（等差、等比数列）；
3. 累加法（形如 $a_{n+1}-a_n=f(n)$）：$a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}f(k)$；
4. 累乘法（形如 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$）：$a_n=a_1{\prod }_{k=1}^{n-1}f(k)$；
5. 构造法（递推式化为已知等差或等比）。

典例精析

例 1：写出数列 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ 的通项公式。

观察得 $a_n=\frac{1}{n}$。

例 2：已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$、$a_{n+1}=a_n+3n$，求通项公式。

由递推 $a_{n+1}-a_n=3n$ 累加：

$a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}3k=2+3\cdot \frac{(n-1)n}{2}=2+\frac{3n(n-1)}{2}=\frac{3n^2-3n+4}{2}$

例 3：已知 $S_n=n^2+2n$，求 $a_n$。

$n=1$ 时 $a_1=S_1=3$。

$n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[(n-1{)}^2+2(n-1)]=n^2+2n-[n^2-2n+1+2n-2]=n^2+2n-[n^2-1]=2n+1$。

检验 $n=1$：$a_1=2\times 1+1=3$，符合，故通项 $a_n=2n+1$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。

对比