等差数列

定义

等差数列：若数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}-a_n=d$（常数）对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 成立，则称 $\{a_n\}$ 为等差数列，$d$ 叫公差。

等差中项：若 $a$、$b$、$c$ 成等差数列，则 $b$ 叫 $a$、$c$ 的等差中项，且

$2b=a+c\text{即}b=\frac{a+c}{2}$

推导

通项公式：

$a_n=a_1+(n-1)d$

推导：由 $a_n-a_{n-1}=d$ 累加得 $a_n=a_1+(n-1)d$。

前 $n$ 项和公式：

$S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

推导：用倒序相加法。$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ 与 $S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1$ 相加得 $2S_n=(a_1+a_n)n$。

等差数列的性质：

性质	表达
通项变形	$a_n=a_m+(n-m)d$（$m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）
等距项和	$a_m+a_n=a_p+a_q$ 当 $m+n=p+q$
子数列	下标成等差的子列仍等差，公差 $d^{\prime }=kd$
$S_n$ 公式	$S_n=A{n}^2+Bn$（无常数项的二次函数）
$S_{2k+1}$ 中项	$S_{2k+1}=(2k+1)\cdot a_{k+1}$

典例精析

例 1：已知等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_3=7$、$a_7=19$，求通项 $a_n$ 与 $S_{10}$。

由 $a_7-a_3=4d=12$，$d=3$，$a_1=a_3-2d=7-6=1$，故 $a_n=1+(n-1)\cdot 3=3n-2$。

$S_{10}=10\times 1+\frac{10\times 9}{2}\times 3=10+135=145$。

例 2：三数成等差，和为 $9$，积为 $15$，求三数。

设三数为 $a-d$、$a$、$a+d$。

• 和：$3a=9$，$a=3$；
• 积：$(3-d)\cdot 3\cdot (3+d)=15$，$3(9-d^2)=15$，$9-d^2=5$，$d^2=4$，$d=\pm 2$。

故三数为 $1,3,5$ 或 $5,3,1$。

例 3：等差数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $S_4=10$、$S_8=30$，求 $S_{12}$。

由 $S_n=A{n}^2+Bn$ 知 $S_4=16A+4B=10$、$S_8=64A+8B=30$，相减得 $48A+4B=20$ 即 $12A+B=5$，与 $16A+4B=10$ 联立解得 $A=\frac{5}{16}$、$B=\frac{5}{4}$。

故 $S_n=\frac{5}{16}{n}^2+\frac{5}{4}n$，$S_{12}=\frac{5}{16}\times 144+\frac{5}{4}\times 12=45+15=60$。

或用等差数列性质：$S_4$、$S_8-S_4$、$S_{12}-S_8$ 成等差，$S_4=10$、$S_8-S_4=20$，故 $S_{12}-S_8=30$，$S_{12}=60$。

对比

项目	通项 $a_n$	前 $n$ 项和 $S_n$
公式	$a_1+(n-1)d$	$\frac{(a_1+a_n)n}{2}$ 或 $n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$
形式	$n$ 的一次函数	$n$ 的二次函数（无常数项）
已知条件	$a_1$、$d$	$a_1$、$a_n$ 或 $a_1$、$d$