鸽巢问题与抽屉原理

用带余除法求至少数

方法很简单，就是「平均分」：

1. 用物体总数 $÷$ 抽屉数，做带余除法。
2. 有余数：至少数 = 商 $+1$。
3. 没余数：至少数 = 商。

例：7 本书放进 3 个抽屉。

$7÷3=2\cdots \cdots 1$

最平均的放法是 2 本、2 本、3 本，所以至少有一个抽屉放了 $2+1=3$ 本。

想想为什么要「加 1」：平均分之后还剩 1 本，这一本无论放进哪个抽屉，那个抽屉都会比商多 1。所以「商 + 1」不是猜的，是平均分后剩余物体的必然结果。

最不利原则：带「保证」的问题

有些题不问「至少有一个」，而问「至少拿几个，才能保证出现某种结果」。这类题用最不利原则：

1. 先假设最倒霉的情况接连发生。
2. 把最倒霉的情况走完。
3. 再多 $1$ 个，结果就一定出现。

例：袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，至少摸出几个，才能保证有 2 个同色？

最倒霉的情况：前 3 个球恰好红、黄、蓝各 1 个。这时再多摸 1 个，无论是什么颜色，都会和已有的某个同色。

$3+1=4\text{（个）}$

学生最常见的错是「$3+3$」——以为要摸两轮。其实最倒霉时每种颜色只需要出现 1 个，走完这一步就够了。

典例精析

例 1 5 只鸽子飞进 3 个鸽笼，至少有几只鸽子在同一个鸽笼？

$5÷3=1\cdots \cdots 2$

至少有 $1+1=2$ 只在同一笼。（剩余 2 只分别进两个笼子，最多的笼子仍是 2 只。）

例 2 一个正方体的 6 个面涂上红、黄两种颜色，至少有几个面涂的颜色相同？

$6÷2=3$

正好整除，至少有 $3$ 个面颜色相同。

例 3 任意 13 个人中，至少有 2 个人的属相相同，为什么？

属相一共只有 12 种，相当于 12 个抽屉。

$13÷12=1\cdots \cdots 1$

所以至少有 $1+1=2$ 个人属相相同。这就是抽屉原理：人比属相多，必然有人「挤进」同一个属相。

例 4 一副扑克牌（去掉大小王，剩 4 种花色各 13 张），至少摸出几张，才能保证有 2 张是同一花色？

最不利：前 4 张恰好 4 种花色各 1 张，再摸 1 张必重复花色。

$4+1=5\text{（张）}$

对比

两个方法本质相同：都在想「最平均、最不凑巧」的极端情况。鸽巢原理训练的就是这种极端思维，初中的组合计数、高中的反证法都建立在它之上。

一句口诀收尾：抽屉问题平均分，有余商要加上 1；保证问题想最背，最背走完再加 1；至少不是碰运气，任何放法都成立。