贷款与复利：指数函数如何决定你的月供

复利公式：指数增长

本金 $P$、每期利率 $r$、$n$ 期后本息：

$A=P(1+r{)}^n$

这是标准的指数函数。底数 $1+r>1$，所以随 $n$ 增大加速增长——这就是「利滚利」的数学本质。

单利 vs 复利：差距有多大

本金 1 万、年利率 5%：

时间越长，复利的「雪球」滚得越大。爱因斯坦称复利为「世界第八大奇迹」，说的就是指数增长的威力。

72 法则：心算翻倍时间

$\text{翻倍年数}\approx \frac{72}{\text{年利率}(\%)}$

年利率 6%：约 12 年翻倍；年利率 3%：约 24 年。原理是 $(1+r{)}^n=2$ 两边取对数，$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+r)}\approx \frac{0.693}{r}$；口诀把分子取 72，便于整除且更接近 $\ln (1+r)$ 偏小带来的真实年数——这就是对数在解指数方程中的用武之地。

房贷月供怎么来

等额本息：每月还同样多的钱 $M$，使各月还款的现值之和等于本金。把每月还款折现累加是等比数列求和，推得：

$M=P\cdot \frac{r(1+r{)}^n}{(1+r{)}^n-1}$

贷款 100 万、年利率 4.9%（月利率 $r=0.049/12$）、30 年（$n=360$）：月供约 5307 元，总利息约 91 万——几乎和本金一样多。看懂这个公式，买房贷款心里才有底。