人教版五年级上册第七单元《数学广角——植树问题》教材同步学习指南

学习顺序

7.1 两端都栽

画线段图找规律：全长 20 m 每隔 5 m 栽一棵，画图数出 4 个间隔、5 棵树——棵数总比间隔数多 1。

道理：第一棵树栽在起点，之后每个间隔的末端栽一棵，起点那棵就是「多出来的 1」。

公式应用：100 m 小路每隔 5 m 栽一棵（两端都栽）：间隔数 $100÷5=20$，棵数 $20+1=21$。两旁都栽要再乘 2。

7.2 两端都不栽（含只栽一端）

两端都不栽：起点终点都不栽，棵数比间隔数少 1。60 m 每隔 3 m：间隔数 $60÷3=20$，棵数 $20-1=19$。

只栽一端：起点栽、终点不栽（或反之），一棵树正好对应一个间隔，棵数 $=$ 间隔数。

对比记忆：三种情况都由「间隔数」出发，只差端点处理：都栽加 1，都不栽减 1，栽一端正好相等。

7.3 封闭图形植树

化曲为直：把圆形、正方形等封闭线路沿某处「剪开拉直」，起点与终点重合为同一棵树，相当于只栽一端。

公式：棵数 $=$ 间隔数 $=$ 周长 $÷$ 间隔距离。圆形滑冰场周长 150 m 每隔 15 m 安一盏灯，$150÷15=10$ 盏。

推广：锯木头、爬楼梯、敲钟问题都与植树问题同构——锯 3 段要锯 2 次（棵数 $=$ 次数 $+1$ 的变形）。

本章的三条主线结论

1. 间隔数永远是基础：间隔数 $=$ 总长 $÷$ 间隔距离，先算它，再看端点。
2. 三种情况只差端点处理：两端都栽 $+1$，两端都不栽 $-1$，只栽一端或封闭图形不加不减。
3. 画线段图是最可靠的方法：想不清就画图数，5 m、10 m 的小数据试出规律再套大数据。

最易错：忘记加 1 或减 1；两旁栽树忘乘 2；把封闭图形按「两端都栽」处理。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 50 m 走廊每隔 5 m 放一盆花，两端都放，共放几盆？——$50÷5+1=11$ 盆。
2. 两栋楼相距 40 m，每隔 8 m 栽一棵树（楼前不栽），栽几棵？——$40÷8-1=4$ 棵。
3. 沿河堤 90 m 每隔 6 m 栽一棵柳树，只栽一端，栽几棵？——$90÷6=15$ 棵，棵数 $=$ 间隔数。
4. 圆形花坛周长 60 m，每隔 4 m 摆一盆花，共摆几盆？——$60÷4=15$ 盆，封闭图形棵数 $=$ 间隔数。
5. 在 200 m 公路两旁栽树（两端都栽），每隔 10 m 一棵，共栽多少棵？——一旁 $200÷10+1=21$ 棵，两旁 $21\times 2=42$ 棵。
6. 一根木头锯成 5 段要锯几次？如果锯一次 3 分钟，共要几分钟？——锯 $5-1=4$ 次（两端都栽型：段数相当于棵数、次数相当于间隔数，棵数 $=$ 间隔数 $+1$），$4\times 3=12$ 分钟。

第 1 题出错说明「两端都栽加 1」没掌握；第 2 题出错说明「两端不栽减 1」没掌握；第 3、4 题出错说明只栽一端与封闭图形的关系不清；第 5 题出错说明忽略了「两旁」；第 6 题出错说明不能把生活问题转化为植树模型。

学完本章之后

植树问题是数学建模的启蒙：

• 同类变式：锯木头、爬楼梯、敲钟、插彩旗、站队列，都是「间隔数 ± 端点」模型。
• 六年级《数与形》：继续用画图策略发现数与形的规律。
• 初中《一元一次方程的应用》：植树问题可用方程刻画，从算术走向代数。
• 思想价值：画图找规律、分类讨论、化曲为直，是受用终身的解题策略。

一句口诀收尾：总长除以间距得间隔，再看两端栽不栽；两头都栽多一棵，两头不栽少一棵；一头栽来正相等，封闭图形也一样。