人教版小学数学《数学广角——优化》教材同步学习指南

学习顺序

8.1 沏茶问题

经典情境：洗水壶 1 分钟、烧水 8 分钟、洗茶壶茶杯 3 分钟、找茶叶 1 分钟、沏茶 1 分钟。

分析：烧水前必须先洗水壶，沏茶必须等水烧开；但烧水的同时可以洗茶壶茶杯、找茶叶。

最优方案：洗水壶（1 分钟）→ 烧水（8 分钟，同时洗茶壶茶杯、找茶叶）→ 沏茶（1 分钟），共 $1+8+1=10$ 分钟，比一件一件做节省了 4 分钟。

方法：画流程图，标出「可以同时进行」的事。

8.2 烙饼问题

经典情境：锅里每次最多烙 2 张饼，每面要烙 3 分钟。烙 3 张饼怎样最省时间？

最优策略（9 分钟）：先烙 1 号、2 号的正面（3 分钟）→ 烙 1 号反面和 3 号正面（3 分钟）→ 烙 2 号、3 号反面（3 分钟），共 $3\times 3=9$ 分钟。

规律：锅里始终有 2 张饼，不空锅就不浪费；烙 $n$ 张饼（$n\ge 2$）的最短时间是 $3n$ 分钟（每面 3 分钟时）。

8.3 田忌赛马

经典情境：齐王的上、中、下等马都比田忌的同级马强，正面对阵田忌三局全输。

最优对策：下等马对齐王上等马（输），上等马对中等马（赢），中等马对下等马（赢），三局两胜。

思想：先枚举所有对阵方案，再比较；主动舍弃一局，保住两局——这是「对策论」的萌芽，也是博弈中「以局部失利换全局胜利」的智慧。

本章的三条主线结论

1. 省时的关键是「同时做」：找出不互相冲突的事情并行处理，时间取最长的那条链。
2. 最优策略往往来自「资源不闲置」：锅里始终有两张饼，人手里始终有活干。
3. 对策问题先枚举再选择：把所有方案摆出来比较，必要时舍小局保大局。

最易错：分不清哪些事能同时做、烙饼时让锅空了一张饼、以为田忌赛马只有一种对阵方案。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 沏茶问题中，烧水的同时可以做哪些事？——洗茶壶茶杯、找茶叶，它们与烧水不冲突。
2. 每面烙 3 分钟，锅一次最多烙 2 张，烙 3 张饼至少几分钟？——9 分钟，$3\times 3=9$，锅不空。
3. 同样条件，烙 5 张饼至少几分钟？——15 分钟，$3\times 5=15$。
4. 烙饼问题为什么要先烙两张的正面、再轮换？——保证锅里始终有 2 张饼，不浪费锅的空间。
5. 田忌怎样对阵才能赢齐王？——下等马对上等马（舍），上等马对中等马（胜），中等马对下等马（胜）。
6. 田忌赛马体现了什么数学思想？——枚举所有方案并比较的对策思想，以局部失利换全局胜利。

第 1 题出错说明并行意识不够；第 2、3 题出错说明烙饼最优策略没掌握；第 4 题出错说明没理解「资源不闲置」；第 5、6 题出错说明对策思想没形成。

学完本章之后

「数学广角」系列贯穿小学，本章是运筹与对策思想的起点：

• 五年级《数学广角——找次品》：用天平称量中的推理，同样是策略优化。
• 六年级《数学广角——鸽巢问题》：从策略优化走向存在性证明。
• 初中统筹与不等式：安排方案的优劣用不等式定量刻画。
• 高中与大学运筹学：排队、调度、博弈论都是本章思想的科学化和系统化。
• 生活应用：做饭时先淘米再边煮饭边炒菜、出行规划路线，都是优化。

一句口诀收尾：能同时，不排队；锅不空，饼轮替；弱对强，舍一局；全局赢，是优化。