人教版六年级上册第三单元《分数除法》教材同步学习指南

定义

分数除法是分数乘法的逆运算。核心法则：

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}(c\ne 0,d\ne 0)$

即「除以一个数，等于乘这个数的倒数」。

倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。求倒数：真分数直接分子分母颠倒；带分数先化假分数；整数 $n$ 的倒数是 $\frac{1}{n}$；$0$ 没有倒数。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
3.1 倒数的认识	理解倒数概念	乘积为 1；求倒数的方法
3.2 分数除以整数	理解算理	除以整数等于乘它的倒数
3.3 一个数除以分数	推导一般法则	除变乘，颠倒相乘
3.4 解决问题	已知几分之几求单位 1	除法或方程

3.1 倒数的认识

倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数，如 $\frac{2}{3}$ 与 $\frac{3}{2}$。

求倒数的方法：

• 真分数：分子分母直接颠倒，如 $\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$。
• 带分数：先化假分数再颠倒，如 $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，倒数是 $\frac{2}{3}$。
• 整数 $n$：倒数是 $\frac{1}{n}$，如 $5$ 的倒数是 $\frac{1}{5}$。
• $1$ 的倒数是 $1$；$0$ 没有倒数。

3.2 分数除以整数

算理：把 $\frac{4}{5}$ 平均分成 2 份，每份是 $\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{5}$。

$\frac{a}{b}÷n=\frac{a}{b}\times \frac{1}{n}=\frac{a}{b\times n}(n\ne 0)$

3.3 一个数除以分数

算理推导：$1÷\frac{1}{2}=2$（1 里面有 2 个 $\frac{1}{2}$）；$2÷\frac{2}{3}=3$（2 里面有 3 个 $\frac{2}{3}$）。一般地：

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$

带分数处理：先化假分数再除，如 $1\frac{1}{2}÷\frac{1}{3}=\frac{3}{2}÷\frac{1}{3}=\frac{3}{2}\times 3=\frac{9}{2}$。

除法混合运算：先把除法全部转化为乘法，再用乘法运算定律简算。如 $\frac{3}{4}÷\frac{2}{3}+\frac{1}{4}÷\frac{2}{3}=\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}+\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}=(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})\times \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。

3.4 解决问题

类型一：已知一个数的几分之几是多少，求这个数

对应量 ÷ 分率 = 单位 1 的量。或设单位 1 为 $x$，列方程 $\frac{a}{b}x=$ 对应量。

类型二：已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数

如「甲比乙多 $\frac{1}{4}$，甲是 25，求乙」：乙 $\times (1+\frac{1}{4})=25$，乙 $=25÷\frac{5}{4}=20$。

类型三：工程问题

把工作总量看作单位 1，工效 = $\frac{1}{\text{工作时间}}$，合作工效相加。

本章的四条主线结论

1. 除法统一为乘法：除以一个数等于乘它的倒数，分数除法全部转化为分数乘法。
2. 倒数是桥梁：倒数概念连接乘除，是转化的关键。
3. 已知与未知分治：单位 1 已知用乘法，单位 1 未知用除法或方程。
4. 工程问题模型：总量为 1，工效为分数，合作工效相加，是分数除法的经典应用。

最易错：颠倒相乘只颠倒被除数、带分数未化假分数、单位 1 已知未知混淆、工程问题工效算错。

自测

先自己判断，再看答案：

1. $\frac{5}{6}$ 的倒数是什么？$0$ 呢？——$\frac{6}{5}$；$0$ 没有倒数。
2. 计算：$\frac{5}{6}÷5=$？——$\frac{5}{6}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{6}$。
3. 计算：$\frac{7}{8}÷\frac{3}{4}=$？——$\frac{7}{8}\times \frac{4}{3}=\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$。
4. 计算：$2\frac{1}{3}÷\frac{7}{9}=$？——$\frac{7}{3}÷\frac{7}{9}=\frac{7}{3}\times \frac{9}{7}=3$。
5. 一堆煤，用去 $\frac{2}{5}$，正好是 12 吨，这堆煤多少吨？——$12÷\frac{2}{5}=30$ 吨。
6. 一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，合作几天完成？——$1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})=6$ 天。

第 1 题出错说明倒数概念不熟；第 2–4 题出错说明基本算理不熟；第 5 题出错说明单位 1 判断错误；第 6 题出错说明工程问题模型没掌握。

学完本章之后

分数除法是小学计算能力的巅峰：

• 第五单元《百分数》：百分数应用题与分数应用题同构。
• 初中衔接：分式运算、一元一次方程直接以本章为基础。

一句口诀收尾：除变乘，颠倒乘；带分数，化假分；已知几分之几是多少，除法方程求单位 1；工程问题总量 1，工效相加合作成。