分数除法为什么要乘倒数

算理：为什么是「乘倒数」

这个法则绝不能让学生死记。下面三种讲法，课堂上按学生的接受程度选用。

讲法一：把除数变成 1（最推荐）

根据商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）同一个不为 0 的数，商不变。

要让除数 $\frac{c}{d}$ 变成 1，就给它乘它的倒数 $\frac{d}{c}$。为了保持商不变，被除数也必须同时乘 $\frac{d}{c}$：

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\left(\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}\right)÷\left(\frac{c}{d}\times \frac{d}{c}\right)=\left(\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}\right)÷1=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$

除数变成 1 以后，「除以 1」等于没除，剩下的自然就是「被除数乘倒数」。这一讲法把一条天降的规则变成了必然结果，学生听完不会再问「凭什么」。

讲法二：通分后看分子（最直观）

$\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{15}{20}÷\frac{8}{20}$

两个分数的分数单位都成了 $\frac{1}{20}$，问题就变成「15 个 $\frac{1}{20}$ 里面有几个 8 个 $\frac{1}{20}$」，也就是 $15÷8=\frac{15}{8}$。

顺带解决了一个老大难：学生爱用的「分子除分子、分母除分母」为什么有时对有时错——分母已经相同（或先通分）时当然可以；两组恰好分别能整除时也可以，例如 $\frac{6}{25}÷\frac{3}{5}=\frac{6÷3}{25÷5}=\frac{2}{5}$。除此之外直接相除常会除不尽，还是要乘倒数。

讲法三：回到包含除的意义

$\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}$ 问的是「$\frac{3}{4}$ 里面有几个 $\frac{2}{5}$」。画一条线段或一块面积图，学生能直接看到结果是 1 个多一点，与 $\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$ 吻合。这个讲法适合用来验算，不适合用来讲普遍法则。

典例精析

例 1 $\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$

例 2 $\frac{2}{3}÷4=\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{6}$

整数 4 的倒数是 $\frac{1}{4}$，整数也要先化成倒数再乘。这一步最容易被跳过，学生常常直接拿 $\frac{2}{3}\times 4$ 或者 $\frac{2}{3}÷4$ 硬凑。

例 3 $6÷\frac{2}{3}=6\times \frac{3}{2}=9$

6 里面包含 9 个 $\frac{2}{3}$。除以真分数反而变大，这正是学生直觉最容易翻车的地方。

课堂上的真实错法

错法一：分子除分子、分母除分母。

$\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}$ 算成 $\frac{3÷2}{4÷5}$，得到 $\frac{1.5}{0.8}$ 后卡住。纠正办法是回到讲法二：先通分，再看分子。

错法二：乘了被除数的倒数。

$6÷\frac{2}{3}$ 算成 $6\times \frac{2}{3}=4$。学生记住了「要乘倒数」，却没记清是除数的倒数。可以让他们默念一句再动笔：「除号后面那个数，翻过来。」

错法三：认为除以分数一定变小。

用一个生活例子就能纠正：6 米长的绳子，每 $\frac{2}{3}$ 米剪一段，能剪几段？学生一算发现能剪 9 段，比「6」还大，立刻明白「除以小于 1 的数会变大」。

给家长的讲法

孩子回家说「分数除法只要乘倒数就行」，请追问一句：「为什么乘倒数？乘的是谁的倒数？」 如果答不上来，说明是死记的，遇到带余除法、混合运算、解决问题时就会出错。用讲法一（把除数变成 1）讲一遍，五分钟能讲通，而且讲一次就忘不掉。

对比