人教A版必修第一册第三章《函数的概念与性质》教材同步学习指南

学习顺序

3.1 函数的概念及其表示

定义域的求法：整式为 $\mathbb{R}$；分式要求分母不为零；偶次根式要求被开方数非负；实际问题还要符合实际意义；多个限制同时出现时取各条件解集的交集（呼应第一章）。函数值 $f(a)$ 就是把 $x=a$ 代入对应关系。值域常用观察法、配方法、图象法确定。

区间是集合的简写：$[a,b]$、$(a,b)$、$[a,b)$、$(a,+\infty )$ 等，$\infty$ 一侧永远用圆括号。判断两个函数是否相同，只看定义域与对应关系，不看字母。

函数的三种表示法各有适用场景：解析法便于计算与推理；列表法对应离散数据；图象法直观显示整体变化。分段函数在定义域不同区间上有不同对应关系，但仍是一个函数——求值按自变量所在区间「分段代入」，定义域是各段的并集，注意分段端点属于哪一段要写清楚。

3.2 函数的基本性质

单调性：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，区间 $D\subseteq I$，若对 $D$ 上任意 $x_1,x_2$，当 $x_1<x_2$ 时恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，称 $f$ 在 $D$ 上单调递增，$D$ 是增区间；$f(x_1)>f(x_2)$ 则为单调递减。注意单调性是区间上的性质，脱离区间谈增减没有意义。

用定义证明单调性固定三步：① 任取 $x_1,x_2\in D$ 且 $x_1<x_2$；② 作差 $f(x_1)-f(x_2)$ 并因式分解或配方；③ 结合 $x_1-x_2<0$ 判断差的符号，得出结论。若在区间 $D$ 上 $f(x_0)$ 大（小）于等于所有函数值，称 $f(x_0)$ 为最大（小）值；先证单调再谈端点最值是常用路径。

奇偶性：先看定义域是否关于原点对称（必要前提），再算 $f(-x)$：

• $f(-x)=-f(x)$ 恒成立 → 奇函数，图象关于原点中心对称（如 $y=x^3$、$y=\frac{1}{x}$）；
• $f(-x)=f(x)$ 恒成立 → 偶函数，图象关于 $y$ 轴对称（如 $y=x^2$）；
• 两者都不满足 → 非奇非偶。

既奇又偶的函数只有 $f(x)=0$（且定义域关于原点对称）。利用奇偶性可「由半知全」：已知 $x>0$ 的图象，对称翻折即得全貌。

3.3 幂函数

形如 $y=x^{\alpha }$ 的函数叫幂函数（注意：底数是自变量、指数是常数，且 $x^{\alpha }$ 前系数为 $1$，$y=2x^2$ 不是幂函数）。教材研究五个代表：$y=x$、$y=x^2$、$y=x^3$、$y=x^{1/2}=\sqrt{x}$、$y=x^{-1}=\frac{1}{x}$。

共同特征：都过点 $(1,1)$；在第Ⅰ象限内按指数分类——$\alpha >1$ 时递增且下凸、$0<\alpha <1$ 时递增但上凸、$\alpha <0$ 时递减且以坐标轴为渐近线。奇偶性则按各自定义域与 $f(-x)$ 单独判断。研究幂函数的过程本身就是「概念 → 图象 → 性质」范式的示范。

3.4 函数的应用（一）

本节用已学函数（尤其是分段函数）建立简单实际问题的模型：出租车计费、阶梯水价、邮寄资费等，关键是按区间写出对应关系并标注每段定义域，端点处取值要与实际规则一致。读图题要关注横纵轴含义、分段点、升降趋势与端点的虚实。这是第四章函数模型应用与零点的预备。

本章的三条主线结论

1. 函数是集合间的对应，不是解析式本身：三要素中定义域先行，任何函数问题先写定义域。
2. 单调性按「任取—作差—定号」证明，奇偶性先验定义域对称：图象只能用于观察与验证，不能替代定义证明。
3. 研究具体函数走固定范式：概念 → 图象 → 性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点）→ 应用，幂函数是第一次演练，后续所有函数章都复用。

最易错：忽视定义域（换元不标范围、判断奇偶性不验对称）、把「在某区间递增」说成「整个函数递增」、用图象想当然代替作差证明。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 求 $f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-3}$ 的定义域。——$x-1\ge 0$ 且 $x-3\ne 0$，得 $[1,3)\cup (3,+\infty )$。
2. $f(x)=x^2$ 与 $g(t)=t^2$ 是不是同一函数？$y=x$ 与 $y=\frac{x^2}{x}$ 呢？——前两个定义域、对应关系都相同，是同一函数；后两者定义域不同（后者 $x\ne 0$），不是。
3. 证明 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。——任取 $0<x_1<x_2$，$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1{x}_2}>0$，故 $f(x_1)>f(x_2)$。
4. 判断 $f(x)=x^3+x$ 的奇偶性。——定义域为 $\mathbb{R}$，$f(-x)=-x^3-x=-f(x)$，是奇函数。
5. 已知 $f(x+1)=x^2+2x$，求 $f(x)$。——令 $t=x+1$，则 $f(t)=(t-1{)}^2+2(t-1)=t^2-1$，即 $f(x)=x^2-1$（$x\in \mathbb{R}$）。
6. 写出幂函数 $y=x^{-2}$ 的定义域、奇偶性与单调区间。——定义域 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$；偶函数；在 $(-\infty ,0)$ 上递增，在 $(0,+\infty )$ 上递减。

第 3、4 题出错说明性质的定义格式没有固化；第 5 题漏写范围或第 6 题答错奇偶性，说明定义域意识还需加强。

学完本章之后

本章给出的概念与范式贯穿整个高中：

• 第四章《指数函数与对数函数》、第五章《三角函数》：全部按「概念 → 图象 → 定义域值域 → 单调性 → 奇偶性（周期性）」的顺序展开，本章方法可以直接平移。
• 导数（选择性必修）：单调性的研究将从定义作差升级为导数定号，但「先定定义域、再谈单调区间」的原则不变。
• 考试：定义域与分段函数、函数性质的综合判断、抽象函数的奇偶单调推理是高考小题与解答题第一问的常客。

一句口诀收尾：函数先看定义域，表示不只解析式；单调证明作差走三步，奇偶先验对称再算 $f(-x)$。