锐角三角函数定义公式

定义

在直角三角形中，设一个锐角为 $A$，则：

正弦（sine）：

$$\sin A=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$

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余弦（cosine）：

$$\cos A=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$

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正切（tangent）：

$$\tan A=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

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边的名称

在 $\text{Rt}△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$：

• 斜边：直角所对的边 $AB$（最长边）
• 对边：相对于锐角 $A$，对面的直角边 $BC$
• 邻边：相对于锐角 $A$，旁边的直角边 $AC$

对边和邻边是相对于某个锐角而言的。换一个锐角（如 $\angle B$），对边和邻边就互换了。

推导（相似三角形）

对于确定的锐角 $A$，所有含 $\angle A$ 的直角三角形都相似，因此对应边的比值是固定的：

$\frac{BC}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\sin A$

所以三角函数值只由角度决定，与三角形的大小无关。

三个函数的关系

平方关系：

${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$

由勾股定理 $a^2+b^2=c^2$，两边除以 $c^2$ 即得。

商数关系：

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

特殊角的值

角度	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$30^{\circ }$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^{\circ }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

典例精析

例 1 $\text{Rt}△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$AC=3$，$BC=4$，求 $\sin A$、$\cos A$、$\tan A$。

先求斜边：$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5},\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5},\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$

例 2 已知 $\sin A=\frac{3}{5}$，求 $\cos A$ 和 $\tan A$。

由 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$：

$\cos A=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$

对比

函数	定义	取值范围（锐角）
$\sin A$	对边/斜边	$0<\sin A<1$
$\cos A$	邻边/斜边	$0<\cos A<1$
$\tan A$	对边/邻边	$\tan A>0$

记忆口诀

「正弦对比斜，余弦邻比斜，正切对比邻」——三句话分别对应三个函数的定义。

另一个办法是按分母记：名字带「弦」的正弦、余弦，分母都是斜边；名字带「切」的正切，分母是邻边。分子再记「正弦对边、余弦邻边、正切对边」。家长可以让孩子拿三角尺指一遍：角 $A$ 对面的直角边是对边，挨着角 $A$ 的那条直角边是邻边。