立方和与立方差公式

推导

以立方和为例，按多项式乘法展开：

$(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$=a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b-a{b}^2+b^3$

合并后 $-a^{2}b$ 与 $+a^{2}b$ 抵消，$+a{b}^2$ 与 $-a{b}^2$ 抵消，剩下

$=a^3+b^3$

立方差同理，展开后交叉项也恰好抵消，得到 $a^3-b^3$。

结构特征

口诀：「和配负、差配正」——二项式是「和」时，三项式中间项是负号；二项式是「差」时，三项式中间项是正号。

典例精析

例 1 计算 $(x+2)(x^2-2x+4)$。

对照立方和公式，$a=x$、$b=2$：

$(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+2^3=x^3+8$

例 2 分解因式 $x^3-27$。

$27=3^3$，这是立方差：

$x^3-27=x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9)$

例 3 分解因式 $8a^3+b^3$。

$8a^3=(2a{)}^3$，用立方和：

$8a^3+b^3=(2a{)}^3+b^3=(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)$

错例：把 $a^3+b^3$ 分解成 $(a+b)(a^2+ab+b^2)$——中间项符号错了，正确应为 $(a+b)(a^2-ab+b^2)$。

与其他知识的联系

立方和（差）公式的价值在因式分解。对于 $a^3\pm b^3$ 形式的多项式，第一步就是套立方和（差）公式。分解后还要检查二次三项式能否继续分解：

• $a^2-ab+b^2$ 在实数范围内一般不能再分解（判别式 $b^2-4ac=(-b{)}^2-4\cdot 1\cdot b^2=-3b^2\le 0$）

所以 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ 已经是实数范围内的最终结果。