长方形与正方形的面积公式

定义

长方形面积：

$$S=ab$$

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其中 $a$ 为长，$b$ 为宽。

正方形面积：

$$S=a^2$$

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其中 $a$ 为边长。

面积是平面图形所占平面的大小，常用单位有平方厘米（${\text{cm}}^2$）、平方分米（${\text{dm}}^2$）、平方米（${\text{m}}^2$）。

推导

用边长为 1 厘米的小正方形（面积 1 平方厘米）去铺长方形：

• 每行可以摆「长」个小正方形
• 一共可以摆「宽」行

小正方形总数 = 长 × 宽，所以长方形面积 $S=ab$。

正方形是长和宽相等的长方形，故 $S=a\times a=a^2$。

单位换算

换算关系	表达式
平方分米 → 平方厘米	$1{\text{ dm}}^2=100{\text{ cm}}^2$
平方米 → 平方分米	$1{\text{ m}}^2=100{\text{ dm}}^2$
平方米 → 平方厘米	$1{\text{ m}}^2=10000{\text{ cm}}^2$

注意相邻面积单位之间的进率是 100，不是 10（因为长度进率 10，面积是长度的平方，$10^2=100$）。

典例精析

例 1 长方形长 8 分米、宽 5 分米，面积是多少？

$S=8\times 5=40\text{ 平方分米}$

例 2 一张正方形桌面边长 90 厘米，面积是多少平方分米？

方法一：先算平方厘米再换算。

$S=90\times 90=8100{\text{ cm}}^2=81{\text{ dm}}^2$

方法二：先换算单位再算。

$90\text{ cm}=9\text{ dm},S=9\times 9=81{\text{ dm}}^2$

例 3 一块长方形菜地长 12 米、宽 8 米，每平方米收白菜 5 千克，一共收多少千克？

先求面积：$S=12\times 8=96$ 平方米。

再求总产量：$96\times 5=480$ 千克。

对比

图形	面积公式	单位	与周长的区别
长方形	$S=ab$	面积单位	周长 $C=2(a+b)$ 是长度
正方形	$S=a^2$	面积单位	周长 $C=4a$ 是长度

注意事项

周长和面积是最容易混淆的两个量：

• 周长问「一周有多长」，单位是米、厘米等长度单位
• 面积问「占了多大地方」，单位是平方米、平方厘米等面积单位

例如一个边长 4 厘米的正方形，周长是 16 厘米，面积是 16 平方厘米——数字相同但单位完全不同，意义也不同。