整数乘法

整数乘法是求几个相同加数和的简便运算，记作 a×ba\times b，竖式按位值对齐逐位相乘并处理进位。

适用前提与边界条件

  1. 已掌握表内乘法口诀
  2. 理解位值制——十位、百位上的数字表示几个十、几个百
  3. 理解进位

定义

整数乘法是求几个相同加数和的简便运算。 表示 个 相加：

竖式计算时，用第二个乘数的每一位从低位到高位分别去乘第一个数，部分积按位值对齐，最后相加。

算理：位值制让大数乘法变成一位数乘法

以 为例，把 23 拆成 （十位 2 表示 2 个十，个位 3 表示 3 个一）：

竖式把这一过程纵向排列：个位 写在个位，十位 写在十位。本质上是乘法分配律的位值化应用。

中间或末尾有 0 时，0 仍要逐位参与：

  • ：百位 ，十位 ，个位 ，得 608。
  • ：先算 ，末尾添两个 0，得 600。

典例精析

例 1

个位 ，十位 （表示 60），相加得 69。

例 2

百位 ，十位 ，个位 。中间 0 不能漏。

例 3

个位 （进 2），十位 （进 1），百位 ，得 500。

辨析与提醒

易错一：进位漏加。 中 进 2，十位算 后必须加上进位 2 得 10，不能只算 。

易错二：中间 0 遗漏。 把十位 0 跳过，算成 。每一位都要乘，0 也不例外。

易错三：末尾 0 个数数错。 有两个 0，不是三个。数 0 时对应原数末尾有几个 0 就添几个。

跨学段衔接

  • 二年级：表内乘法，九九口诀。
  • 三年级上：多位数乘一位数，引入竖式与进位。
  • 三年级下：两位数乘两位数，十位对齐的位值理解。
  • 四年级：三位数乘两位数，算理相同。
  • 五年级：小数乘法，竖式结构沿用，末尾 0 用来确定小数点位置。
  • 初中：多项式乘法，分配律 成为通用工具。

整数乘法竖式是位值制和分配律的第一个大规模应用，后面的所有乘法都建立在这个基础上。

正例与反例

✅ 正例

  • 23×3=6923\times 3=69，个位 3×3=93\times 3=9，十位 2×3=62\times 3=6（表示 60）
  • 304×2=608304\times 2=608，十位 0×2=00\times 2=0 要占位
  • 125×4=500125\times 4=500，个位 5×4=205\times 4=20 进 2，十位 2×4+2=102\times 4+2=10 进 1

❌ 反例

  • 把 23×323\times 3 中十位乘得的 66（表示 6 个十）当成 6 个一，按 6+9=156+9=15 理解（这个 6 要写在十位，正确得数是 69）
  • 304×2304\times 2 漏掉中间 0，算成 34×2=6834\times 2=68

高频误解与考试易错

  • 竖式中数位对不齐，部分积写错位置
  • 进位漏加或加错数位
  • 用十位乘时忘记结果实际是原来的 10 倍
  • 0 占位遗漏，如 304×2304\times 2 漏写中间的 0

常见问题

整数乘法的本质是什么？
乘法是求几个相同加数和的简便运算。3×43\times 4 就是 4 个 3 相加：3+3+3+3=123+3+3+3=12。当乘数变大后逐个加太慢，竖式乘法用位值制把大数乘法拆成一位数乘法再合并。
竖式乘法为什么要对齐数位？
位值制下，十位上的 2 表示 20，不是 2。23×323\times 3 中 2×3=62\times 3=6 表示的是 6 个十即 60，所以要写在十位上。对齐数位就是让相同位值的数字参与同一步计算。
中间有 0 的数怎么乘？
0 也要逐位参与乘法，不能跳过。304×2304\times 2，十位 0×2=00\times 2=0，结果中间必须有 0 占位，得 608。漏掉就变成 68，差了 10 倍。
末尾有 0 的数怎么乘？
可以先把 0 前面的数相乘，再在末尾添上对应个数的 0。200×3200\times 3：先算 2×3=62\times 3=6，再添两个 0，得 600。原理是 200=2×100200=2\times 100，所以 200×3=2×3×100=600200\times 3=2\times 3\times 100=600。

依据与出处

  • 人教版（2024 审定）三年级上册第四单元《多位数乘一位数》（2026 秋起使用）

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