一元二次方程的应用

定义

用一元二次方程描述含「两轮（两期）累积变化」或「两数乘积」的实际问题。四类高频模型：

• 平均增长（降低）率：基数 $a$，平均变化率 $x$，两期后为 $b$：

$a(1\pm x{)}^2=b$

• 两轮传播：每轮每人（每台电脑）传 $x$ 个，两轮后总数 $(1+x{)}^2$；
• 两两计数：$n$ 人两两握手（或单循环赛场次）共 $\frac{n(n-1)}{2}$ 次；互赠礼品（双向）共 $n(n-1)$ 件；
• 几何面积：围栏、镶边、修路问题用「大图形面积 − 去掉部分 = 剩余面积」列乘积式。

四类模型的共同点是：先把实际问题翻译成「两个量的乘积等于某个值」，再展开成一元二次方程求解。区别在于两个因式各代表什么。

每类模型的一句话口诀

模型	关键句	最易错处
增长率	每期在上期基础上再变	连增两期是乘两次 $(1+x)$，不是乘 $2$
传播	第二轮传染源含第一轮所有感染者	别漏算最初那个患者
握手	每对被数了两次要除以 $2$	握手与互赠礼品分不清
围栏面积	靠墙的一边不围材料	把靠墙边也算进围栏总长

增长率与传播本质上同源：两轮传播后总数 $(1+x{)}^2$ 就是把最初的 $1$ 个人当作「基数 $1$」，每轮乘 $(1+x)$。

解出的根必须回现实里检验：增长率 $x$ 应在 $0$ 与 $1$ 之间、人数件数必须是正整数、边长必须为正且不超过材料总长。根的取舍是应用题与纯代数题最大的区别。

推导

增长率模型：设基数为 $a$，每期平均增长率为 $x$。第一期后增至 $a(1+x)$；第二期以 $a(1+x)$ 为新基数再增长：

$a(1+x)(1+x)=a(1+x{)}^2$

两期后等于 $b$，即 $a(1+x{)}^2=b$，解得 $1+x=\sqrt{\frac{b}{a}}$（取正根），$x=\sqrt{\frac{b}{a}}-1$。降低率模型把加号换减号。$■$

握手计数模型：$n$ 个人中每人都与其余 $n-1$ 人各握一次，按 $n(n-1)$ 计数时每对被两人各算了一次，故实际次数为

$\frac{n(n-1)}{2}$

若约定互赠贺卡（甲送乙与乙送甲算两件），则不去重，总数为 $n(n-1)$。$■$

围栏模型：用总长 $L$ 的围栏借一面墙围矩形，设垂直于墙的边长为 $x$（两段），则平行于墙的边长为 $L-2x$，面积为

$S=x(L-2x)$

给出面积定值时是一元二次方程；若要求最大面积，则与二次函数最值衔接。

典例精析

某厂今年产值 200 万元，计划后年达到 288 万元，求这两年的平均增长率。

设平均增长率为 $x$：

$200(1+x{)}^2=288⟹(1+x{)}^2=1.44⟹1+x=1.2$

（舍去 $1+x=-1.2$），$x=0.2=20\%$。

围栏题：用 20 米围栏靠墙围矩形花圃（墙足够长），面积要达 50 平方米，求垂直于墙的边长。

$x(20-2x)=50⟹x^2-10x+25=0⟹(x-5{)}^2=0$

$x=5$ 米，此时平行于墙一边为 10 米。

传播题：某种流感，每轮一人平均传染 $x$ 人，两轮后共有 $81$ 人患病，求 $x$。

由模型 $(1+x{)}^2=81$，得 $1+x=9$（舍去 $-9$），故 $x=8$，即每轮每人平均传染 $8$ 人。

握手题：某小组同学互相握手，共握手 $45$ 次，求小组人数。

设 $n$ 人，则 $\frac{n(n-1)}{2}=45$，即 $n^2-n-90=0$，$(n-10)(n+9)=0$，取正整数根 $n=10$。

这类题里 $n=-9$ 这个根由代数产生，但人数不能为负，必须舍去——「列方程容易，验根取舍难」正是应用题的考查点。

对比

模型	方程结构	取根要点
增长率	$a(1+x{)}^2=b$	取使 $1+x>0$ 的根
传播	$(1+x{)}^2=N$	$x$ 为非负数
两两计数	$\frac{n(n-1)}{2}=m$	$n$ 为正整数
面积围栏	$x(L-2x)=S$	边长为正且不超过总长

与其他知识的联系

一元二次方程的应用是「方程思想」在现实中的落脚点：把「两期累积」「两数乘积」「两两配对」这些结构，都用二次方程的语言表达出来。

它和两块内容直接衔接：面积类问题再往前一步、问「最大面积」时就变成二次函数的最值；增长率与传播模型在高中会推广为指数增长、等比数列。而「解出根后按实际意义取舍」这条纪律，是后面所有应用题共同的要求。