三元一次方程组

定义

三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 $1$ 的整式方程，如 $x+y+z=6$。

三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的方程组。其解是同时满足三个方程的一组未知数的值。

解三元一次方程组的基本思路与二元一次方程组一脉相承——消元：

$\text{三元一次方程组}\stackrel{\text{消元一次}}{\to }\text{二元一次方程组}\stackrel{\text{再消元一次}}{\to }\text{一元一次方程}$

连续消元两次后求出一个未知数，再逐层回代，求出另外两个未知数。

推导

解方程组：

$\{\begin{array}{ll}x+y+z=6& \text{①}\\ & \\ 2x-y+z=5& \text{②}\\ & \\ x+2y-z=0& \text{③}\end{array}$

第一步：选定消元目标。 三个方程中 $y$、$z$ 都有系数为 $1$ 或 $-1$ 的，选 $z$ 最方便。

第二步：消第一次，化二元。

由① $-$ ②：$(x-2x)+(y+y)+(z-z)=6-5$，得

$-x+2y=1\text{④}$

由② $+$ ③：$(2x+x)+(-y+2y)+(z-z)=5+0$，得

$3x+y=5\text{⑤}$

④⑤组成关于 $x$、$y$ 的二元一次方程组。

第三步：消第二次，化一元。 由⑤得 $y=5-3x$，代入④：

$-x+2(5-3x)=1\Rightarrow -7x=-9\Rightarrow x=\frac{9}{7}$

回代得 $y=5-3\times \frac{9}{7}=\frac{8}{7}$，再代入①得 $z=6-\frac{9}{7}-\frac{8}{7}=\frac{25}{7}$。

第四步：检验。 将 $x=\frac{9}{7}$、$y=\frac{8}{7}$、$z=\frac{25}{7}$ 代入②：$\frac{18}{7}-\frac{8}{7}+\frac{25}{7}=\frac{35}{7}=5$；代入③：$\frac{9}{7}+\frac{16}{7}-\frac{25}{7}=0$，均成立。$■$

消元的两条纪律

1. 两次消元认准同一个未知数。 第一次消 $z$，第二次还得消 $z$，才能把三元降成二元；中途换目标是最常见的错误。
2. 每个方程可以重复使用，但每次消元至少要引入一个新方程。 三组方程两两配对有三种组合，消第一个未知数通常需要两种不同的配对。

消元方法的选择与二元方程组相同：系数成倍数用加减，有系数 $\pm 1$ 的用代入。方程组中缺某个未知数时（如方程③不含 $z$），该方程本身就是消元的成果，直接利用可少算一步。

典例精析

解方程组：

$\{\begin{array}{ll}2x+y=10& \text{①（不含 }z\text{）}\\ & \\ 3y-z=6& \text{②}\\ & \\ x+y+z=9& \text{③}\end{array}$

观察发现①已不含 $z$，只需再消一次 $z$：由②得 $z=3y-6$，代入③：$x+y+(3y-6)=9$，即 $x+4y=15$ ④。联立①④：由① $x=\frac{10-y}{2}$，代入④：$\frac{10-y}{2}+4y=15$，解得 $y=\frac{20}{7}$，再回代得 $x=\frac{25}{7}$、$z=\frac{18}{7}$。代回①②③检验：$2\times \frac{25}{7}+\frac{20}{7}=10$、$3\times \frac{20}{7}-\frac{18}{7}=6$、$\frac{25}{7}+\frac{20}{7}+\frac{18}{7}=9$，均成立。

与其他知识的联系

三元一次方程组是消元思想的第二次演练：二元时消元一次，三元时消元两次，更多元时逐次降元——计算机解大型线性方程组用的高斯消元法，本质就是这套程序化步骤。

实际问题中出现三个未知量（如三种商品的单价、三段路程的速度）时，列三元方程组比硬凑一元方程自然得多。八年级学习一次函数后，三个一次方程的图像是三个平面，方程组的解对应三个平面的公共点。

本节没有新公式，只有一句话：认准一个未知数，一消到底。

对比

对比项	二元一次方程组	三元一次方程组
未知数个数	2	3
消元次数	消 1 次化为一元	先消为二元，再消为一元，共 2 次
解法	代入法、加减法	代入法、加减法

消元时每个方程至少要用一次，消去的目标未知数在两个方程中系数要先化相同或相反。