二元一次方程组

定义

二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的次数都是 $1$ 的整式方程。如 $2x+3y=6$。

二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组。一般形式为

$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$

其中 $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ 是常数，且 $a_1,b_1$ 不全为零、$a_2,b_2$ 不全为零。

方程组中所有方程的公共解叫作这个方程组的解。

「公共解」这三个字是方程组的关键：单独满足第一个方程的解有无穷多个，单独满足第二个的也有无穷多个，方程组的解要同时满足两个方程，通常只有一个。

推导

解二元一次方程组的核心思想是消元——把「二元」化为「一元」。消元之后就是解一元一次方程，步骤与七年级上册完全一致。

1. 代入消元法：从一个方程中把一个未知数用另一个未知数表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数
2. 加减消元法：把两个方程的两边同乘适当的数，使某一未知数的系数互为相反数（相加消元）或相等（相减消元），再把两式相加减

代入法的写法要点：变形时要选系数为 $\pm 1$ 的那个未知数，避免出现分数；代入时必须加括号，且只能代入另一个方程——代回原方程会得到恒等式，等于白做。

加减法的要点：先看同一未知数的系数是否成倍数；不成倍数时两边同乘使之成为最小公倍数；系数同号用相减，异号用相加。

解的三种情况

二元一次方程组的解不一定存在且唯一：

情形	例子	两直线的位置关系
唯一解	$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=1\end{array}$	相交
无解	$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x+y=2\end{array}$	平行
无穷多解	$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 2x+2y=2\end{array}$	重合

判定的办法是看两个方程的系数是否成比例：若 $x$、$y$ 的系数成比例但常数项不成比例，则无解；若三者都成比例，则有无穷多解。

典例精析

解方程组 $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=1\end{array}$。

加减法：两式相加得 $2x=6$，故 $x=3$；代回 $x+y=5$，得 $y=2$。

所以方程组的解为

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}.$

代入法：由第二式得 $x=y+1$，代入第一式得 $(y+1)+y=5$，解得 $y=2$，从而 $x=3$。两种方法结论一致。

再练一道需要先变形的：$\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ 3x-2y=-1\end{array}$。

把第一式乘 $2$、第二式乘 $3$，得 $\{\begin{array}{l}4x+6y=16\\ 9x-6y=-3\end{array}$，两式相加消去 $y$：

$13x=13\Rightarrow x=1$

代回 $2x+3y=8$ 得 $2+3y=8$，故 $y=2$。方程组的解为

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}.$

检验：代入第二式 $3\times 1-2\times 2=-1$，成立。检验只需代一个未被用来求最后未知数的方程即可。

对比

方法	适用情形	优点
代入消元法	某未知数系数为 $\pm 1$	步骤直接，不易出错
加减消元法	同一未知数系数成倍数	计算量小，速度快

与其他知识的联系

消元是「把不会的变成会的」的典范，这个思路在此后反复出现：解三元一次方程组是连续消元两次；解二元一次不等式组是分别求解再取公共部分；到了一次函数，方程组的解就是两个函数图像交点的坐标——代数里的消元与图像里的求交点，说的是同一件事。