求一个数的几分之几和已知几分之几求原数

定义

六年级分数应用题归根到底是两类，区别只有一条：单位「1」给没给出。

第一类（单位「1」已知，用乘法）：求一个数的几分之几是多少。

$\text{对应量}=\text{单位「1」}\times \text{分率}$

第二类（单位「1」未知，用除法或方程）：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

$\text{单位「1」}=\text{对应量}÷\text{分率}$

第一步先找单位「1」

找法与百分数完全一致：看「的」字前面、或「比、是、占、相当于」后面的那个量。

• “男生人数的 $\frac{2}{3}$” → 单位「1」是男生人数
• “比计划多 $\frac{1}{5}$” → 单位「1」是计划量
• “是去年的 $\frac{3}{4}$” → 单位「1」是去年

找到之后立刻判断：这个量题目给了吗？

• 给了 → 乘法
• 没给、要你求的 → 除法（或方程）

这一个问题就能决定算式，比背”已知单位一用乘法”这类口诀可靠得多。

为什么”未知就要除”

用方程解释最清楚。设单位「1」为 $x$：

$x\times \frac{2}{3}=40$

要求 $x$，就得把 $\frac{2}{3}$ 挪到另一边：

$x=40÷\frac{2}{3}=40\times \frac{3}{2}=60$

这也正是除法的定义：已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数。 学生一旦写出方程，就不会再乘除搞反。

所以我的建议是：单位「1」未知时，优先列方程。 列式除法容易记反，方程思路更顺。

典例精析

例 1 六年级有 60 人，男生占 $\frac{2}{3}$，男生有多少人？

单位「1」（六年级总人数 60）已知 → 乘法：$60\times \frac{2}{3}=40$（人）。

例 2 六年级男生有 40 人，占全年级的 $\frac{2}{3}$，全年级有多少人？

单位「1」（全年级人数）未知 → 除法：$40÷\frac{2}{3}=60$（人）。

用方程：设全年级 $x$ 人，$\frac{2}{3}x=40$，$x=60$。

这两道题数字完全一样，只是一个条件互换，解法就完全不同。 建议把这两道并列写在黑板上让学生对比，这是本章最有效的一次教学。

例 3 计划造林 100 公顷，实际比计划多 $\frac{1}{5}$，实际造林多少公顷？

单位「1」（计划 100）已知，实际是计划的 $1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$：

$100\times \frac{6}{5}=120\text{（公顷）}$

例 4 实际造林 120 公顷，比计划多 $\frac{1}{5}$，计划造林多少公顷？

单位「1」（计划）未知 → 方程：设计划 $x$ 公顷，$(1+\frac{1}{5})x=120$，$x=100$。

课堂上的真实错法

错法一：乘除搞反。 单位「1」未知却用乘法，算出 $\frac{80}{3}$ 这种明显不合理的答案还浑然不觉。建议养成估算习惯：当分率小于 $1$ 时，整体（单位「1」）比它对应的部分大，可据此快速判断答案是否合理；若分率大于 $1$（如「比原数多 $\frac{1}{5}$」），则不一定。

错法二：把分率当数量。 “比 60 多 $\frac{1}{3}$“算成 $60+\frac{1}{3}$。纠正办法是看单位：没有单位的分数是分率，不能直接加减。

错法三：忘记加单位「1」本身。 求”比 100 多 $\frac{1}{5}$“，只算 $100\times \frac{1}{5}=20$ 就交卷，忘了加回 100。可以在算完多出的部分后追问一句：“题目问的是多的那部分，还是总共？”

错法四：单位「1」找错。 “甲比乙多 $\frac{1}{3}$“，把甲当单位「1」。提醒：比字后面是谁，谁就是单位「1」。

给家长的讲法

孩子这类题做错，先别讲算法，问两个问题：

1. “题里在和谁比？“（找单位「1」）
2. “这个数题里给了吗？“（判断乘除）

两个问题答对了，算式基本就对了。

生活里可以随手练：家里一个月用电 120 度，比上个月节约了 $\frac{1}{4}$，上个月用了多少度？——单位「1」是上个月（未知），所以 $120÷(1-\frac{1}{4})=160$ 度。孩子能讲清”为什么用除法”，这一章就算过关了。

对比

题型	单位「1」	方法
求一个数的几分之几是多少	已知	单位「1」 $\times$ 对应分率
已知一个数的几分之几是多少，求这个数	未知	已知量 $÷$ 对应分率

比较项	乘法求部分量	除法求单位「1」
关键句	是单位「1」的几分之几	部分量对应的分率已知
列式	乘法	除法（或列方程）