代数式的概念与求值

定义

用字母表示数：字母可以表示任意的数，也可以表示一类数或变化的数。用字母表示数后，数量关系表达得更简明、更具有普遍性，这是从算术到代数的飞跃。

代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。注意：用 $=$、$\ne$、$>$、$<$ 等关系符号连接的式子不是代数式，如 $s=vt$、$5>3$ 都不是代数式。

代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。

代数式的书写规范

1. 乘号通常写作「$\cdot$」或省略不写，如 $a\times b$ 写成 $ab$；但数字与数字相乘时乘号不能省略，$3\times 5$ 写成 $35$ 就被误读成三十五了；
2. 数字因数写在字母前面，如 $3a$ 不写成 $a3$；
3. 除法运算写成分数形式，如 $s÷t$ 写成 $\frac{s}{t}$；
4. 带分数与字母相乘要化成假分数，如 $1\frac{1}{2}a$ 应写成 $\frac{3}{2}a$，否则会被误读为 $1+\frac{1}{2}a$；
5. 系数是 $1$ 或 $-1$ 时，$1$ 省略不写，如 $1a$ 写作 $a$，$-1a$ 写作 $-a$。

这些规范的目的只有一个：让式子简短而没有歧义。

列代数式

列代数式就是把实际问题中的数量关系「翻译」成符号语言。关键是抓住「的、比、多、少、倍、和、差、积、商」等关键词，并按语言叙述的层次确定运算顺序，必要时用括号。例如：

• 「$a$ 与 $b$ 的和的 $3$ 倍」先算和再算倍：$3(a+b)$，写成 $3a+b$ 就只给 $a$ 乘了 $3$；
• 「比 $x$ 的 $2$ 倍少 $5$ 的数」：$2x-5$；
• 「一个两位数，十位数字是 $a$，个位数字是 $b$」：$10a+b$，写成 $ab$ 就变成 $a$ 与 $b$ 相乘了。

列完代数式后可以代一个具体数检验是否合理，这是自我检查的好习惯。

代数式的值

求代数式的值分两步：代入、计算。代入时要注意两条：

1. 原来省略的乘号要还原，如 $x=3$ 时 $2x=2\times 3$；
2. 字母取负数或分数时，代入后要加括号，如 $x=-2$ 时 $x^2=(-2{)}^2=4$，不加括号写成 $-2^2$ 就变成 $-4$ 了。

例如当 $a=-1$，$b=\frac{1}{2}$ 时，

$a^2-2ab=(-1{)}^2-2\times (-1)\times \frac{1}{2}=1+1=2$

同一个代数式，字母取不同的值，结果一般也不同——代数式的值由字母的取值决定。

典例精析

判断下列各式哪些是代数式：$2x+1$、$s=vt$、$\frac{1}{x}$、$5>3$、$0$。其中 $2x+1$、$\frac{1}{x}$、$0$ 是代数式；$s=vt$ 含等号、$5>3$ 含不等号，都不是代数式。

某商品原价 $a$ 元，先涨价 $10\%$ 再降价 $10\%$：现价为 $a(1+10\%)(1-10\%)=0.99a$ 元。注意两次的单位「$1$」不同，涨价是在原价基础上，降价是在涨价后的价格基础上，所以结果比原价低。

当 $x=-\frac{1}{3}$ 时求 $3x^2+2x$ 的值：

$3\times {\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+2\times \left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$

与其他知识的联系

代数式是整式、分式、方程、函数的共同母体：单项式与多项式都是代数式，用等号连接两个代数式就得到方程。列代数式训练的是把文字语言翻译成符号语言的能力，这正是今后列方程解应用题的基本功；求代数式的值则是以后函数求值的雏形。

对比

式子	是否代数式	原因
$2a+3$	是	只用运算符号连接数与字母
$a$	是	单个字母也是代数式
$2a+3=5$	不是	含有等号，是等式
$2a>3$	不是	含有不等号

文字关键词	对应运算
和、多、增加	加法
差、少、减少	减法
积、倍、乘	乘法
商、分	除法