尺规作图

推导（作法与证明）

作一个角等于已知角：已知 $\angle AOB$，作射线 $O^{\prime }{A}^{\prime }$；以 $O$ 为心任意长为半径画弧交 $OA、OB$ 于 $C、D$；以 $O^{\prime }$ 为心同半径画弧交 $O^{\prime }{A}^{\prime }$ 于 $C^{\prime }$；以 $C^{\prime }$ 为心、$CD$ 长为半径画弧交前弧于 $D^{\prime }$；过 $D^{\prime }$ 画射线 $O^{\prime }{B}^{\prime }$。

证明：连接 $CD、C^{\prime }{D}^{\prime }$，则 $OC=O^{\prime }{C}^{\prime }$、$OD=O^{\prime }{D}^{\prime }$、$CD=C^{\prime }{D}^{\prime }$（三次同半径），$△OCD\cong △O^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$（SSS），故 $\angle A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }=\angle AOB$。$■$

作角平分线：以 $O$ 为心画弧交两边于 $M、N$；分别以 $M、N$ 为心、大于 $\frac{1}{2}MN$ 的等长为半径画弧，两弧交于角内点 $P$；射线 $OP$ 即平分线。

证明：$OM=ON$、$MP=NP$、$OP$ 公共，$△OMP\cong △ONP$（SSS），$\angle MOP=\angle NOP$。$■$

作垂直平分线：分别以线段端点 $A、B$ 为圆心、大于 $\frac{1}{2}AB$ 的等长为半径画弧，两弧分别交于线段两侧的 $P、Q$；直线 $PQ$ 即垂直平分线。

证明：$PA=PB$（同半径），$P$ 在 $AB$ 的垂直平分线上；同理 $Q$ 也在；两点确定一条直线，故 $PQ$ 是垂直平分线。$■$

过直线外一点 $P$ 作垂线：以 $P$ 为心取适当半径画弧，交直线于 $A、B$（$PA=PB$，$P$ 在 $AB$ 垂直平分线上）；再作线段 $AB$ 的垂直平分线即可。点在直线上时，先以该点为心画弧在直线上截出 $A、B$，作法相同。$■$

复合作图：利用基本作图可完成作三角形（已知三边 SSS、两边夹角 SAS、两角夹边 ASA）、作三角形的外接圆（两边垂直平分线定外心）、内切圆（两角平分线定内心）、过一点作已知圆的切线等。

典例精析

已知三边 $a、b、c$（满足三边关系），作三角形。

先作线段 $BC=a$；分别以 $B、C$ 为圆心，$c、b$ 为半径画弧交于 $A$；连接 $AB、AC$。$△ABC$ 由 SSS 唯一确定，即为所求。

对比