秦九韶与三斜求积术：知道三边就能算三角形面积

背景

量田要算面积，可田块的边可以步测，高却难以直接量——只知道三条边，怎么算面积？ 这个实用问题在古希腊与中国各被解决了一次：海伦给出以半周长表达的公式，秦九韶给出以三边平方表达的「三斜求积术」。两式外貌迥异，内里完全等价。

史料辨析

史实 南宋秦九韶（1208—1268）于 1247 年著《数书九章》十八卷，卷五田域类有题：「问沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里……欲知为田几何。」并给出术文：「以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。」译成现代式即

$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{c}^2-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}{)}^2]}$

有争议 海伦《测量学》的成书年代学界有公元前 1 世纪至公元 3 世纪多说，公式本身早于秦九韶近千年。但两公式是否有传播联系，没有任何证据；多数数学史家认为各自独立产生。

史实 秦九韶另以「大衍求一术」（一次同余式组解法）与正负开方术（高次方程数值解）闻名，《数书九章》被萨顿称为中世纪数学的重要著作之一。

数学内核

三斜求积与海伦公式的等价。海伦公式：

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},p=\frac{a+b+c}{2}$

对秦九韶式配方展开，两项可整理为同一组因子：记 $x=p-a$、$y=p-b$、$z=p-c$，则 $a=y+z$、$b=z+x$、$c=x+y$，代入

$a^2{c}^2-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}{)}^2=(a+c+b)(a+c-b)(a-c+b)(-a+c+b)\cdot \frac{1}{4}$

两端乘 1/4 后恰为 $p(p-a)(p-b)(p-c)$，故两式相等。

由余弦定理推三斜求积：由余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，则

$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ac\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{c}^2-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}{)}^2]}$

一眼可见三斜求积术就是余弦定理 + 面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 的合并——高中必修二把它列为余弦定理的阅读材料，正是这个用意。

例：$a=13$、$b=14$、$c=15$（秦九韶原题，单位为里），

$\frac{13^2+15^2-14^2}{2}=99,S=\frac{1}{2}\sqrt{169\times 225-99^2}=\frac{1}{2}\times 168=84$

与海伦公式 $\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84$ 一致。

说法与史实

流传说法	史实
秦九韶抄袭了海伦公式	无任何传播证据；两式独立产生、代数等价，表达形式不同
海伦是公元 10 世纪的人	《测量学》成书年代有争议，但远早于秦九韶
三斜求积术只解决沙田问题	它是「知三边求面积」的一般公式，田亩只是应用场景
秦九韶只贡献了这一个公式	大衍求一术、正负开方术同属《数书九章》，国际数学史评价极高