一元一次不等式组

定义

一元一次不等式组：由若干个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。其一般形式为

$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_1\square 0\\ a_{2}x+b_2\square 0\\ \cdots \\ a_{n}x+b_n\square 0\end{array}$

其中 $\square$ 表示 $>$、$<$、$\ge$、$\le$、$\ne$ 中任意一种。

不等式组的解集：所有不等式解集的交集，即同时满足每个不等式的 $x$ 取值集合。

推导

求解一元一次不等式组的标准流程：

1. 分别求解：分别解出每个不等式的解集；
2. 数轴表示：把每个解集在同一数轴上画出；
3. 取交集：找各解集的公共部分（重叠区间），即不等式组的解集；
4. 写答：若无公共部分则解集为空集 $\varnothing$。

两个不等式组成的不等式组解集口诀（设端点 $a<b$）：

不等式组形式	解集	口诀
$\{\begin{array}{l}x>a\\ x>b\end{array}$（$a<b$）	$x>b$	同大取大
$\{\begin{array}{l}x<a\\ x<b\end{array}$（$a<b$）	$x<a$	同小取小
$\{\begin{array}{l}x>a\\ x<b\end{array}$（$a<b$）	$a<x<b$	大小取中
$\{\begin{array}{l}x>a\\ x<b\end{array}$（$a>b$）	$\varnothing$	矛盾无解

端点是否取等：单独看每个不等式本身含不含等号，再求交集。

典例精析

例 1：解不等式组 $\{\begin{array}{l}3x-2>4(x-3)\\ \frac{x-1}{2}\le \frac{x}{3}+1\end{array}$，并写出整数解。

分别解：

• 不等式 ①：$3x-2>4x-12$，移项 $-x>-10$，系数化为 1（除以 $-1$ 变号）得 $x<10$；
• 不等式 ②：去分母同乘 $6$ 得 $3(x-1)\le 2x+6$，即 $3x-3\le 2x+6$，移项 $x\le 9$。

取交集：$\{\begin{array}{l}x<10\\ x\le 9\end{array}$，由「同小取小」得 $x\le 9$，即解集 $\{x\mid x\le 9\}$。

整数解有无穷多个：$\dots ,-2,-1,0,1,\dots ,9$。

例 2：解不等式组 $\{\begin{array}{l}2x+1>5\\ x-3<0\end{array}$，求正整数解。

分别解：

• 不等式 ①：$2x>4$，得 $x>2$；
• 不等式 ②：$x<3$。

取交集：「大小取中」得 $2<x<3$。

满足 $2<x<3$ 的正整数不存在（区间内无正整数），故正整数解为空集。

对比

项目	一元一次不等式	一元一次不等式组
个数	1 个不等式	2 个及以上不等式
解集形态	射线（如 $x>a$ 或 $x<a$）	射线 / 区间 / 空集
求解核心	五步法	各自求解后取交集
数轴表示	一条射线	多条射线的公共部分
无解情形	一般不空（除 $0>5$ 这种恒假不等式）	各解集无公共部分时为空集