圆的周长与面积公式

定义

圆的周长：

$$C=2\pi r=\pi d$$

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圆的面积：

$$S=\pi r^2$$

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其中 $r$ 是半径，$d$ 是直径，$d=2r$；圆周率 $\pi \approx 3.14$。

圆周率 π

任意一个圆，它的周长除以直径的商是一个固定的数，叫做圆周率，用字母 $\pi$ 表示：

$\pi =\frac{C}{d}$

$\pi$ 是一个无限不循环小数，小学阶段计算时通常取 3.14。

周长推导

由 $\pi =\frac{C}{d}$ 直接得 $C=\pi d$；又 $d=2r$，所以 $C=2\pi r$。

面积推导（化圆为方）

把圆平均分成若干（偶数）个扇形，然后交叉拼成一个近似的长方形：

• 长方形的长 ≈ 圆周长的一半 = $\pi r$
• 长方形的宽 ≈ 圆的半径 = $r$

分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。所以

$S=\pi r\times r=\pi r^2$

典例精析

例 1 半径 5 厘米的圆，求周长和面积。

周长：

$C=2\pi r=2\times 3.14\times 5=31.4\text{ 厘米}$

面积：

$S=\pi r^2=3.14\times 5^2=3.14\times 25=78.5\text{ 平方厘米}$

例 2 一个圆形花坛直径 20 米，它的占地面积是多少？

先求半径：$r=20÷2=10$ 米。

$S=\pi r^2=3.14\times 10^2=314\text{ 平方米}$

例 3 一个圆的周长是 18.84 厘米，求面积。

先由周长求半径：

$r=\frac{C}{2\pi }=\frac{18.84}{2\times 3.14}=3\text{ 厘米}$

再求面积：

$S=3.14\times 3^2=28.26\text{ 平方厘米}$

对比

量	公式	单位
周长	$C=2\pi r=\pi d$	长度单位
面积	$S=\pi r^2$	面积单位

注意事项

半径 vs 直径：题目给的是直径还是半径一定要看清。已知直径求面积时，必须先除以 2 得到半径再平方。

平方 vs 乘 2：$r^2$ 是 $r\times r$，不是 $r\times 2$。半径 3 时，$r^2=9$，而 $2r=6$，差很多。

$\pi$ 的取值：题目若没有特殊说明，$\pi$ 取 3.14；若题目给出 $\pi$ 的精确值（如用字母 $\pi$ 表示），则保留 $\pi$ 不代入数值。